28616 - ANALISI MATEMATICA T-B

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo Studente conosce gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

Integrali generalizzati per funzioni di una variabile reale.

Definizione di integrale generalizzato.
Criterio di esistenza; criterio del confronto; criterio di convergenza assoluta.

Serie numeriche.
Definizione di serie numerica; serie geometriche. Condizioni necessarie per la convergenza.
Criterio di esistenza; criterio integrale; criterio del confronto; criterio di convergenza assoluta; criterio di Leibnitz; criterio del rapporto.

Limiti  e  continuità  per funzioni di più variabili reali a valori reali e vettoriali.
Topologia di R^n. Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità, limiti e continuità.
I teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali a valori reali e vettoriali.
Derivate direzionali, derivate parziali e differenziabilità per funzioni di più variabili; matrice jacobiana, gradiente. 
Regole di derivazione. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz, matrice Hessiana. Formule di Taylor fino al secondo ordine per funzioni di più variabili.
Estremanti globali e locali liberi per funzioni reali di più variabili: definizioni, condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Natura dei punti critici.
Estremanti globali e locali vincolati per funzioni reali di più variabili: definizioni e metodi; varietà in R^n, Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali.
Integrale multiplo su rettangoli; Teorema di riduzione.
Integrale multiplo di Riemann in regioni limitate di R^2 e di R^3; proprietà dell'integrale.
Teorema di riduzione su regioni semplici. Diffeomorfismi, Teorema del cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Coordinate polari; coordinate cilindriche; coordinate sferiche.

Numeri complessi.
Il campo dei numeri complessi; forma algebrica e trigonometrica di un numero complesso. Interpretazione geometrica di somma e prodotto di numeri complessi. Esponenziale complesso. Radici n-sime di numeri complessi. Equazioni in C.

Equazioni differenziali ordinarie.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine, formula risolutiva.
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee di ordine superiore; soluzioni generali e soluzioni particolari; Teoremi di esistenza e di unicità per il problema di Cauchy; equazioni a coefficienti costanti, metodi risolutivi.
Equazioni a variabili separabili.

Testi/Bibliografia

Barozzi, Dore, Obrecht, Elementi di Analisi Matematica vol. 1 e 2, Zanichelli, Bologna.

M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa, Analisi Matematica vol. 1 e 2, Zanichelli, Bologna.

Salsa - Squellati, Esercizi di Analisi Matematica vol. 1 e 2, Zanichelli, Bologna.

Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica vol. 1 e 2, Esculapio.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta costituita da esercizi e domande teoriche relativi agli argomenti svolti nel corso. Lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti spiegati nel corso (in particolare definizioni e teoremi) e di saperli applicare a casi concreti. Bisogna presentarsi all'esame muniti di tesserino universitario e documento di riconoscimento. Non è ammesso tenere con se libri, appunti, calcolatrici, cellulari o altro materiale. Per sostenere la prova scritta occorre iscriversi in lista, nella finestra temporale indicata, tramite AlmaEsami [http://almaesami.unibo.it/] . Per il calendario delle prove di esame si faccia riferimento sempre ad AlmaEsami.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Francesco Uguzzoni