00674 - MATEMATICA

Anno Accademico 2020/2021

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente possiede gli strumenti del calcolo differenziale ed integrale di una variabile, conosce i metodi più elementari per la risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine e utilizza gli strumenti elementari della geometria analitica tridimensionale. In particolare, lo studente è in grado di eseguire applicazioni del calcolo differenziale ed integrale di una variabile reale (quali per esempio disegno di un grafico, calcolo di aree di domini planari), di risolvere semplici equazioni differenziali di primo ordine, di eseguire applicazioni della geometria analitica dello spazio (ad esempio descrizione di rette e piani).

Contenuti

MODULO 1
Ripasso di nozioni fondamentali. Notazioni di base di teoria degli insiemi; quantificatori logici. Terminologia per gli insiemi di R. Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzione inversa. Dominio naturale. Prodotto cartesiano di due insiemi. Corrispondenza fra R^2 e i punti di un piano cartesiano.

Funzioni di una variabile reale. Determinazione del dominio. Grafico di una funzione e determinazione dell'insieme immagine di una funzione a partire dal grafico. Criterio delle rette verticali e criterio delle rette orizzontali. Traslazione di grafici.

Funzioni trigonometriche. Angoli in radianti; definizione di coseno, seno e tangente. Funzioni pari e dispari.

Identità fondamentale della trigonometria. Formule di addizione e sottrazione. Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Interpretazione geometrica della tangente.

Esponenziali e logaritmi. Potenze con esponente reale. Esponenziali e logaritmi naturali e formule di conversione. Calcolo infinitesimale. Introduzione al concetto di limite. Intorno di un punto.

Definizione di limite. Forme indeterminate. Tecnica per i limiti a zero di funzioni razionali e simili. Teorema dei due carabinieri. Limiti notevoli. Continuità.

Composizione di funzioni. Concetto di composizione di funzione e composizione di funzioni continue.


MODULO 2
Derivate. Definizione, interpretazione geometrica con particolare riferimento alla retta tangente ad una curva; discussione su significato e utilità della derivata in vari contesti. Calcolo di derivate delle funzioni più comuni; linearità dell’operatore di derivazione; derivata di prodotti e quozienti di funzioni; derivata di funzioni composte. Cenno alla differenziazione implicita. Derivate di funzioni trigonometriche e delle loro inverse.

Grafico di funzioni. Definizione di massimo e minimo locali; utilizzo della derivata per l'identificazione dei massimi e minimi locali; punti critici e loro classificazione; test della derivata prima; punti di flesso; concavità e convessità; test della derivata seconda. Linee guida per tracciare il grafico qualitativo di una funzione.

Applicazioni delle derivate. Regola di L’Hopital; tasso di variazione medio e istantaneo di una quantità; cenno al metodo di Newton per il calcolo delle soluzioni di f(x)=0. Teorema di Rolle. Teorema del valore medio.

Antiderivate. Definizione di antiderivata (primitiva) e tecniche fondamentali per il loro calcolo. Cenno alle equazioni differenziali, con l'esempio del modello di crescita esponenziale.

Integrali indefiniti e definiti. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione ed integrazione per pati.

Cenni di geometria analitica. Vettori in due dimensioni. Sistemi di coordinate tridimensionali. Vettori in tre dimensioni. Il prodotto scalare e vettoriale. Equazioni di linee e piani nello spazio. Distanza di un punto da una retta e da un piano.

Sistemi di equazioni lineari. Matrici e approccio matriciale alla soluzione di un sistema lineare. Fondamenti di algebra delle matrici; determinante e matrice inversa. Regola di Cramer.

 

Testi/Bibliografia

Un buon testo di riferimento, che però non esclude la necessità di procurarsi buoni appunti delle lezioni, è:

• M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, "Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare", 2a ed., Zanichelli, 2004

Un valido aiuto per gli esercizi è il libro:

• S. Salsa, A. Squellati, "Esercizi di matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare. VOLUME 1", Zanichelli, 2001 (ISBN: 8808088871)

Metodi didattici

Lezioni in aula, da seguire in presenza o via web (soggetto a modifiche in base alle direttive dell'Ateneo).

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento viene svolta richiedendo di rispondere in forma scritta a otto quesiti suddivisi in cinque esercizi di carattere numerico e tre domande di carattere teorico. Gli esercizi di carattere numerico sono potenzialmente relativi a tutti gli argomenti trattati nel corso e sono simili, sia per natura che per livello di difficoltà e complessità dei calcoli, a quelli illustrati a lezione a scopo esemplificativo degli argomenti teorici, a quelli forniti negli addizionali "fogli di esercizi", nonché a quelli proposti e discussi durante le ore di esercitazione con la tutor del corso.

Le domande di carattere teorico vertono su teoremi, definizioni e discussioni teoriche svolte a lezione e disponibili nel materiale didattico reso disponibile tramite la piattaforma web dell'Ateneo.

Il peso complessivo degli esercizi di carattere numerico è pari a 20 punti (ciascun esercizio ha un peso compreso fra 3 e 5 punti, che è indicato nel testo d'esame); il peso complessivo dei quesiti di carattere teorico è di 12 punti (anche in questo caso, il peso di ciascun quesito, compreso fra 3 e 5 punti, è indicato nel testo d'esame). Il punteggio complessivo massimo totalizzabile è pertanto pari a 32 punti (20+12). Per il superamento dell'esame è necessario conseguire almeno 8 punti negli esercizi di carattere numerico e almeno 4 punti nei quesiti di tipo teorico. Se il punteggio totalizzato supera 30 la valutazione finale è 30/30 e lode.

Per sostenere la prova d'esame è necessaria l'iscrizione su Almaesami, da effettuarsi inderogabile entro la data di chiusura della lista (indicata su Almaesami).

Strumenti a supporto della didattica

• Appunti presi a lezione (da integrarsi ovviamente con lo studio del libro di testo).
• Note della lezione fatta al tablet o altro materiale in formato elettronico (slides) illustrato e discusso durante le lezioni (tutto il materiale è reso disponibilie sulla piattaforma web di Ateneo)
  
• Dispense fornite dal docente su alcuni argomenti.
• Esercizi da svolgere a casa, sia dal manuale di esercizi consigliato, sia dalla lista di esercizi scritti dal docente, sia dalla collezione di esami precedenti. Alcuni di questi esercizi vengono successivamente risolti e discussi a lezione.
• Compatibilmente con le disponibilità economiche della Scuola, sessioni facoltative di risoluzione di esercizi presiedute da un tutor.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Mentrelli

Consulta il sito web di Marco Lenci