27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2020/2021

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente possiede le nozioni fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile, e i fondamenti dell'algebra lineare nello spazio euclideo. Gli strumenti classici di questo corso trovano utili applicazioni in altre discipline.

Contenuti

Limiti e continuità. Definizione di successione di numeri reali convergente e divergente. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teorema dei due carabinieri. Successioni monotone: definizione e loro limiti. Il numero di Nepero. Composizione di funzioni, funzioni invertibili. Definizione di limite per funzioni reali di una variabile reale. Definizione di funzione continua di una variabile reale. Continuità della composizione di due funzioni continue. I teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Limiti da destra e da sinistra. Funzioni monotone: definizione e loro limiti.

Le funzioni elementari: esponenziali, circolari e le loro inverse.

Calcolo differenziale. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Significato geometrico. I teoremi del valore medio. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Peano.

Estremanti locali: definizioni, condizioni necessarie (teorema di Fermat), condizioni sufficienti. Funzioni convesse. Flessi.

Calcolo integrale: definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Classi di funzioni integrabili. I teoremi fondamentali del calcolo integrale. Teorema di integrazione per sostituzione e Teorema di integrazione per parti.

Integrali generalizzati. Definizione di integrale generalizzato per funzioni non limitate oppure definite su intervalli non limitati. Definizione di convergenza di un integrale. Esempi fondamentali: integrale generalizzato delle funzioni del tipo 1/(x−c)^α su intervalli limitati e non limitati

Algebra lineare: Spazi vettoriali e lo spazio vettoriale R^n: operazioni tra vettori. Combinazioni lineari di vettori e lineare indipendenza. Sottospazi vettoriali e definizione di base di sottospazi. Matrici: determinante, matrici invertibili, rango di una matrice, traccia, autovalori e autovettori. Sistemi lineari: Teorema di Rouché- Capelli, Teorema di Cramer.

Testi/Bibliografia

  • Elementi di Analisi matematica, vol 1, Giulio Cesare Barozzi , Giovanni Dore , Enrico Obrecht. Ed. Zanichelli
  • Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Marco Bramanti. Ed. Esculapio.
  • Introduzione all'algebra lineare, Rita Fioresi , Marta Morigi. Ed. Zanichelli.

Metodi didattici

Il corso prevede lo svolgimento di lezioni di carattere teorico affiancate da esercitazioni che hanno lo scopo di aiutare lo studente ad acquisire familiarità e padronanza con gli strumenti e metodi matematici introdotti durante le lezioni.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.

Più specificamente la verifica scritta dell’apprendimento avviene attraverso una prova finale, che accerta l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese senza l'aiuto di appunti o libri.

Il superamento dell’esame sarà garantito agli studenti che dimostreranno padronanza e capacità operativa in relazione ai concetti chiave illustrati nell’ insegnamento. Un punteggio più elevato sarà attribuito agli studenti che dimostreranno di aver compreso ed essere capaci di utilizzare tutti i contenuti dell’insegnamento per risolvere problemi anche complessi, mostrando buona capacità deduttiva.

Il mancato superamento dell’esame potrà essere dovuto all’insufficiente conoscenza dei concetti chiave, alla mancata padronanza del linguaggio matematico.

Strumenti a supporto della didattica

Esercizi, appunti ed altro materiale online presente sulla pagina https://www.unibo.it/sitoweb/francesca.incensi3/didattica e presso il sito https://iol.unibo.it/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Francesca Incensi