58414 - ALGEBRA E GEOMETRIA

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2020/2021

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede gli elementi essenziali dell'algebra lineare e della geometria elementare.

Contenuti

Introduzione ai sistemi lineari

Matrici.
Algoritmo di Gauss.
Soluzione di sistemi lineari parametrici e non.
R-spazi vettoriali: definizione ed esempi.
Lo spazio vettoriale Rn; lo spazio vettoriale delle matrici mxn ad entrate reali. Sottospazi vettoriali. Esempi e controesempi.
Combinazioni lineari e generatori di uno spazio vettoriale.
Spazi vettoriali finitamente generati: esempi e controesempi.
Intersezione, unione e somma di sottospazi.
La formula di Grassmann.
Dipendenza e indipendenza lineare.
Basi di uno spazio vettoriale. Esistenza di una base di uno spazio vettoriale finitamente generato.
Dimensione di uno spazio vettoriale.
Coordinate di un vettore rispetto ad una base.
Somma diretta di sottospazi vettoriali.
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali: definizione, esempi e controesempi.
Costruzione di applicazioni lineari, condizioni di esistenza e/o unicita`.
Studio di una applicazione lineare: nucleo e immagine. Iniettivita` e suriettivita`.
Teorema delle dimensioni e sue conseguenze.
Controimmagine di un vettore mediante una applicazione lineare. Varieta` lineari.
Matrici associate ad una applicazione lineare.
Rango di una matrice.
Teorema di Rouche' Capelli.
Prodotto di matrici, composizione di applicazioni lineari.
Matrici invertibili e calcolo dell'inversa di una matrice.
Cambiamenti di base.
Matrici simili.
Determinante e sue proprieta`.
Autovalori e autovettori di un endomorfismo.
Autospazi e loro proprieta`.
Polinomio caratteristico.
Molteplicita` algebrica e molteplicita` geometrica di un autovalore e relazione fra di esse.
Matrici diagonalizzabili: definizione, esempi, controesempi.
Diagonalizzabilita` di una matrice su R: condizioni necessarie e sufficienti.
Studio della diagonalizzabilita` di una matrice dipendente da uno o piu parametri.
Elementi di geometria affine: sottovarieta` affini. Rette e piani in R3, loro rappresentazione parametrica e cartesiana. Il prodotto scalare in Rn. Basi ortogonali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. Decomposizione di Rn nella somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Rette ortogonali. Piani ortogonali. Retta ortogonale ad un piano. Distanza tra sottovarieta` affini.

Testi/Bibliografia

Verranno messe a disposizione dello studente delle note online.

I seguenti libri di testo possono comunque essere presi come riferimenti:

1) M. Barnabei, F. Bonetti: Sistemi lineari e Matrici (Pitagora Editrice, Bologna, 1992) ; Spazi Vettoriali e Trasformazioni Lineari (Pitagora Editrice, Bologna,1993)

2) M. Abate: Algebra Lineare ( McGraw-Hill, 2000).

3) P. Maroscia: Introduzione alla geometria e all'algebra lineare (Zanichelli, 2000)

4) M. Abate, C. de Fabritiis: Esercizi di Geometria (McGraw-Hill, 1999).

Metodi didattici

Il corso consiste di 60 ore di didattica frontale durante le quali gli argomenti verranno presentati attraverso esempi, controesempi e numerosi esercizi. Verra` spiegata agli studenti la soluzione di esercizi di vari livelli di difficolta` e verranno loro proposti esercizi da risolvere autonomamente. La correzione di tali esercizi verra` fatta successivamente in classe. Verranno dedicate alcune ore alla discussione delle domande degli studenti: questi saranno invitati ad esprimere eventuali dubbi in classe e la risoluzione di tali dubbi sara` discussa collegialmente.

Verra` spiegata agli studenti la struttura di una dimostrazione attraverso alcuni teoremi di rilievo, seppure di contenuto elementare.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Solo chi ha superato la prova scritta puo` sostenere la prova orale. La prova scritta e` divisa in due parti. La prima parte contiene due affermazioni elementari sul programma svolto. Lo studente deve stabilire se tali affermazioni sono vere o fase e spiegare brevemente il perche'. La seconda parte del compito verra` corretta solo se la prima parte e` completamente esatta. La seconda parte del compito consiste di tre esercizi. La risoluzione del compito verra` resa disponibile online nella pagina web del docente.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fabrizio Caselli

Consulta il sito web di Marco Antonio Boschetti