00006 - ALGEBRA SUPERIORE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente aumenta e rafforza le sue conoscenze algebriche su argomenti fondamentali ed avanzati, avendo acquisito ed essendo in grado di utilizzare autonomamente nozioni e risultati che, oltre alla loro importanza intrinseca, sono di supporto ad altri campi della matematica.

Contenuti

Le algebre di Lie sono strutture algebriche affascinanti e ricche di applicazioni alla geometria e alla fisica matematica. In questo corso studieremo le algebre di Lie di dimensione finita, descrivendo la loro struttura e poi focalizzandoci sulle loro rappresentazioni. Esercizi ed esempi concreti saranno proposti per guidare il processo di apprendimento.

Buona notizia: non ci sono prerequisiti!, a parte una buona conoscenza dell'algebra lineare.

Al tempo stesso, questo corso getta le basi per seguire corsi piu' avenzati che saranno attivati l'anno prossimo (sui gruppi di Lie o i gruppi algebrici o i quiver o le algebre di Kac-Moody), che avvicineranno gli studenti a problemi centrali nella ricerca contemporanea.

 

PROGRAMMA DEL CORSO

Algebre. Algebre di Lie. Esempi: commutatori di un'algebra associativa, derivazioni di un'algebra. Cenni al legame con i gruppi di Lie. Algebre di Lie gl(n,k) e sl(n,k), loro basi. Sottoalgebre, ideali e omomorfismi di algebre di Lie; teorema di omomorfismo. Centro di un'algebra di lie. Rappresentazioni di algebre di Lie, rappresentazione aggiunta. Esempio: la rappresentazione aggiunta di sl(2,k). Sottoalgebra derivata. Algebre abeliane, algebre semplici. L'algebra di Lie sl(2,k) è semplice in caratteristica diversa da 2. L'algebra derivata di gl(n,k) è sl(n,k).


Algebre nilpotenti, algebre risolubili. L'algebra delle matrici triangolari superiori è risolubile, l'algebra delle matrici strettamente triangolari superiori è nilpotente. Sottoalgebre di gl(V) fatte da elementi nilpotenti: il nucleo comune degli elementi di una tale sottoalgebra in V è non banale.
Dato un sottospazio di dimensione finita V e una sottoalgebra L di gl(V) formata da elementi nilpotenti, esiste sempre una base di V in cui L è descritta da matrici strettamente triangolari superiori. Esempio: un sottospazio di gl(3,k) formato da elementi nilpotenti il cui nucleo comune è banale. Teorema di Engel.


Algebre di Lie risolubili e ideali risolubili: proprietà elementari. Radicale di un'algebra di Lie, algebre di Lie semisemplici. Ogni algebra di Lie risolubile contiene un ideale di codimensione 1. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0, allora V contiene almeno un autovettore comune per L. Applicazioni: data una rappresentazione di un'algebra risolubile L, esiste una base di V rispetto alla quale l'azione di L è descritta da matrici triangolari superiori. Il derivato di un'algebra risolubile è nilpotente. Criterio di Cartan per la risolubilità di un'algebra di Lie. Elementi ad-semisemplici. Richiami sulla decomposizione di Jordan di un endomorfismo: decomposizione in autospazi generalizzati, parte semisemplice e parte nilpotente di un endomorfismo. La parte semisemplice e la parte nilpotente di una derivazione di una k-algebra sono ancora derivazioni.


Forma di Killing e sue proprieta'. L e' semisemplice se e solo se la sua forma di Killing e' non degenere. Ogni algebra semisemplice e' somma diretta di ideali semplici. Ogni derivazione di un'algebra semisemplice e' interna. Rappresentazioni e L-moduli. Rappresentazioni irriducibili e completamente riducibili, esempi. Nuclei, immagini e autospazi di morfismi di L moduli sono L sottomoduli; Lemma di Schur. Struttura di L-modulo sull'insieme Hom (V,U) delle applicazioni lineari tra due L-moduli. Elemento di Casimir di una rappresentazione e sue proprieta'. Gli unici L-moduli irriducibili di un'algebra di Lie risolubile sono quelli di dimensione 1. Un'algebra di Lie semisemplice agisce con endomorfismi a traccia zero, e dunque agisce trivialmente su ogni modulo di dimensione 1. Teorema di Weyl: ogni modulo di dimensione finita di un'algebra di Lie semisemplice e' completamente riducibile. Decomposizione di Jordan astratta. La decomposizione di Jordan astratta e concreta coincidono (senza dimostrazione). Classificazione delle rappresentazioni di irriducibili di sl(2): vettori massimali, peso di un vettore. Esempi di rappresentazioni di sl(2) e loro decomposizione in irriducibili.


Sottoalgebre torali; ogni sottoalgebra torale e' abeliana. Sottoalgebre torali massimali, radici. Decomposizione di Cartan e sue proprieta'. Una sottoalgebra torale massimale coincide con il proprio centralizzatore, e la restrizione ad essa della forma di Killing e' nondegenere.Proprieta' delle radici e dei relativi root space (ortogonalita', 1-dimensionalita', integralita', razionalita'...). Per ogni coppia di radici opposte, i root space corrispondenti generano una sottoalgebra isomorfa a sl(2). Definizione assiomatica di sistemi di radici. L'insieme delle radici di un'algebra di Lie semisemplice verifica sempre tali assiomi. Esempi di sistemi di radici: A1, A1xA1, A2, B2, C2, G2... Gruppo di Weyl di un sistema di radici. L'azione per coniugio sulle riflessioni corrisponde all'azione sulle radici; gli elementi del gruppo di Weyl sono isomorfismi del sistema di radici con se' stesso. Determinazione dei possibili valori dell'angolo tra due radici; classificazione dei sistemi di radici di rango 1 e 2. Esercizio: i sistemi di radici delle algebre di lie sl(n), o(2n+1), sp(2n), o(2n), detti di tipo An, Bn, Cn e Dn rispettivamente.


Basi di un sistema di radici. Ogni sistema di radici ammette una base. Camera fondamentale associata a una base. Esiste una biezione tra basi e camere di Weyl, compatibile con l'azione del gruppo di Weyl. Tale azione e' semplicemente transitiva, e il gruppo di Weyl e' generato dalle radici semplici. Lunghezza di un elemento e sue proprieta'.Sistemi di radici irriducibili e loro proprieta' (senza dimostrazione). Matrice di Cartan e diagramma di Dynkin associati ad un sistema di radici. Se due sistemi di radici hanno la stessa matrice di Cartan allora sono isomorfi. Classificazione dei diagrammi di Dynkin connessi. Sistemi di radici corrispondenti a tali diagrammi, loro gruppi di Weyl e loro automorfismi. Un'algebra di Lie semisemplice è semplice se e solo se il sistema di radici associato a una sottoalgebra torale massimale è irriducibile. Relazioni di Serre in un'algebra di Lie semisemplice. Teorema di Serre e classificazione delle algebre di Lie semisemplici (solo enunciato). Algebre di Lie riduttive. Criterio per la semisemplicità di una sottoalgebra di gl(V) che agisce in modo irriducibile su V. Le algebre di Lie classiche sono semplici (esercizio).


Rappresentazioni di dimensione finita di un'algebra di Lie semisemplice: decomposizione in spazi peso e integralità dei pesi relativamente al sistema di radici. Sottoalgebra di Borel associata a un insieme di radici semplici, vettore massimale di una rappresentazione irriducibile. Classificazione delle rappresentazioni irriducibili di dimensione finita in termini dei pesi più alti (solo enunciato). Pesi integrali di un sistema di radici e pesi integrali dominanti. Sistema di radici duale e pesi fondamentali. Pesi fondamentali, radici semplici e matrice di Cartan. Pesi radicali, gruppo fondamentale di un sistema di radici. Pesi dominanti e ordinamento associato alle radici semplici. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali: proprietà universale, esistenza e unicità. Base del prodotto tensoriale. Esempi. Potenze tensoriali di uno spazio vettoriale.


Algebra tensoriale e algebra simmetrica su uno spazio vettoriale: costruzione, proprietà universali e loro basi. Algebra universale inviluppante su un'algebra di Lie. Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt (senza dimostrazione). Una base per l'algebra universale inviluppante. Rappresentazioni di un'algebra di Lie e rappresentazioni della sua algebra inviluppante. Moduli ciclici, moduli ciclici standard. Proprietà dei moduli ciclici standard: peso più alto, decomposizione in spazi peso, indecomponibilità. Moduli di Verma, moduli irriducibili di peso più alto. Classificazione delle rappresentazioni irriducibili di dimensione finita di un'algebra di Lie semisemplice, e descrizione dei relativi insiemi di pesi.


Anello di gruppo associato al reticolo dei pesi integrali, caratteri formali. Anello delle rappresentazioni di un'algebra di Lie semisemplice. Caratteri formali di sl(2), regola di Clebsch-Gordan per la decomposizione in irriducibili del prodotto tensoriale di due rappresentazioni irriducibili di sl(2).Formula del carattere di Weyl (senza dimostrazione). Esempio: calcolo delle moltiplicità degli spazi peso per A2. Formula della dimensione di Weyl.

Testi/Bibliografia

Libro di testo:

James Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer.

Metodi didattici

Metodi didattici

Ogni settimana, 4 ore di lezione frontale ed una di debriefing/ correzione degli esercizi per casa/ discussione.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto e orale

Strumenti a supporto della didattica

Lezioni in presenza, seguibili anche in modalita' online.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci

Consulta il sito web di Jacopo Gandini