27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Scheda insegnamento

SDGs

L'insegnamento contribuisce al perseguimento degli Obiettivi di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda 2030 dell'ONU.

Istruzione di qualità Uguaglianza di genere

Anno Accademico 2019/2020

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire gli strumenti matematici di base (limiti, derivate, integrali) per la analisi qualitativa delle funzioni e la risoluzione di problemi applicativi.

Programma/Contenuti

PROPRIETA' DEI NUMERI REALI, LIMITI E CONTINUITÀ. Richiami sulle funzioni: composizione di funzioni, funzioni invertibili e funzioni inverse. Generalita' sulle funzioni reali di una variabile reale; funzioni monotone. Definizione di successione di numeri reali convergente e divergente. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teoremi di confronto, dei due carabinieri. L'algebra dei limiti. Successioni monotone e loro limiti. Il numero e. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Definizione di funzione continua di una variabile reale. I teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Definizione di limite per funzioni reali di una variabile reale; estensione dei risultati stabiliti per le successioni. Continuità della composizione di due funzioni continue e il teorema di cambiamento di variabile nei limiti. Limiti unilateri. Il teorema sui limiti delle funzioni monotone. Asintoti. Le funzioni circolari inverse. Le funzioni iperboliche e le loro inverse.
CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Il calcolo delle derivate. I teoremi del valor medio e loro applicazione allo studio della monotonia di una funzione. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano e in quella di Lagrange. Estremanti locali: definizioni, condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Funzioni convesse.
CALCOLO INTEGRALE. Definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Condizioni sufficienti di integrabilita'. I teoremi fondamentali del calcolo integrale. I teoremi di integrazione per sostituzione e di integrazione per parti. Funzioni continue a tratti e proprieta' dei loro integrali. Integrali generalizzati: definizioni, convergenza assoluta, criterio del confronto.
NUMERI COMPLESSI. Definizione e operazioni sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso, modulo e argomento di un numero complesso, forma esponenziale di un numero complesso. Formula di de Moivre, radici di un numero complesso, equazioni algebriche in C, la funzione esponenziale complessa.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Estensione al caso di equazioni a coefficienti variabili e di ordine qualunque.

Testi/Bibliografia

Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 1. Ed. Zanichelli.

oppure

Marcellini P.-Sbordone C.: Analisi Matematica 1 - Liguori Editore

oppure

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli - Analisi Matematica, ed. McGraw Hill. (seconda edizione)

oppure

G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 1, ed. Zanichelli.

Lo studente inoltre può utilizzare ogni buon testo di Analisi Matematica che contenga gli argomenti del programma, trattandosi di un programma standard. Si consiglia lo studente di verificare preventivamente con il Docente la congruità del testo scelto.



Potrà essere utile integrare il testo con un libro di esercizi, a scelta dello studente, ad esempio:

M. Bramanti - Esercitazioni di Analisi 1, Ed. Esculapio, Bologna, 2011

M. Amar, A.M. Bersani - Esercizi di Analisi Matematica 1, Ed. Esculapio, Bologna, 2011

S. Abenda - Esercizi di Analisi Matematica Vol 1, Ed. Progetto Leonardo -Bologna
oppure
S. Salsa & A. Squellati: Esercizi di Matematica, Vol. I, Ed. Zanichelli

Metodi didattici

Il corso prevede lo svolgimento di lezioni di carattere teorico (in cui vengono presentati i concetti fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale). Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati ed affiancate da esercitazioni che hanno lo scopo di aiutare lo studente ad acquisire familiarità e padronanza con gli strumenti e metodi matematici introdotti durante le lezioni. Il docente proporrà inoltre esercizi da svolgere autonomamente, simili a quelli svolti durante le ore di esercitazione, in modo che lo studente possa verificare il proprio livello di apprendimento della materia. Sarà cura dello studente integrare il materiale proposto dal docente con altri esercizi reperibili su libri di esercizi.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova scritta, della durata di tre ore, contenente sia esercizi che domande di teoria (definizioni, enunciati dei principali teoremi dei quali potrà essere richiesta anche la dimostrazione se vista a lezione). La prova scritta è superata se si ottiene un voto maggiore o uguale a diciotto trentesimi.

Gli studenti, che che superano la prova scritta di Analisi Matematica T1, hanno la possibilità di sostenere un’ulteriore prova orale, iscrivendosi sull’apposita lista Almaesami, che potrebbe rideterminare, in senso positivo o negativo, il punteggio ottenuto allo scritto, al più, di due punti. Altrimenti si procede alla verbalizzazione dell’esito della prova scritta per tacito assenso, trascorsa una settimana dalla presentazione su Almaesami dei risultati della prova scritta.

 

La prova teorica verte sulla verifica della comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati. Di alcuni teoremi, specificati durante il corso, potrà essere richiesta la dimostrazione. La prova teorica potrà essere sostenuta anche in un appello successivo a quello in cui è stato superato lo scritto, purché all'interno della stessa sessione di esami.

Strumenti a supporto della didattica

Libro di testo consigliato, esercizi e altro materiale online disponibile presso l'indirizzo web:
http://www.dm.unibo.it/~baldi [http://www.dm.unibo.it/%7Ebaldi] e su INSEGNAMENTI ONLINE [https://iol.unibo.it/].

Tutorato (se assegnato).

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Annalisa Baldi

Consulta il sito web di Enrico Smargiassi