28377 - GEOMETRIA 3

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2019/2020

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha la corretta interpretazione matematica delle curve e delle superficie dello spazio e le basi della teoria delle funzioni di una variabile complessa, con particolare rilievo al punto di vista geometrico. Sa utilizzare le conoscenze acquisite per analizzare concetti ed esempi classici fondamentali. E' in grado di applicare tali conoscenze alle altre discipline matematiche e alla risoluzione di semplici problemi posti dalle scienze applicate. Possiede abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni e ai programmi dei corsi di laurea di secondo livello, in particolare allo studio di argomenti piu' avanzati di geometria differenziale e complessa.

Contenuti

Primo modulo:

Alcuni richiami sulla struttura del gruppo dei movimenti rigidi del piano e dello spazio tridimensionale. Curve parametrizzate, riparametrizzazioni, curve parametrizzate orientate, curve regolari. Parametrizzazione d'arco per curve regolari. Curvatura di una curva piana, il suo significato e il suo calcolo. Teoria di Frenet per curve nello spazio: sistema di riferimento di Frenet, curvatura, torsione, formule di Frenet, forma canonica locale di una curva parametrizzata d’arco. Esistenza e unicità a meno di isometrie di una curva con curvatura e torsione assegnate. Esempi di curve notevoli. La teoria delle superfici nello spazio, equazioni parametriche e implicite di una superficie, superfici regolari, cambi di parametro, funzioni differenziabili su una superficie. Spazio tangente ad una superficie. Orientabilità e mappa di Gauss di una superficie orientabile. Quadriche, superfici rigate e superfici di rotazione. Prima forma fondamentale di una superficie, lunghezza di curve su una superficie, aree. Isometrie, applicazioni conformi e applicazioni equiareali tra superfici, un teorema di Archimede. La seconda forma fondamentale di una superficie, le mappe di Gauss e di Weingarten, curvature principali e direzioni principali, curvatura Gaussiana e curvatura media di una superficie, classificazione dei punti di una superficie. Curvatura normale e curvatura geodetica di una curva su una superficie, teoremi di Meusnier e di Eulero. Il Teorema Egregio di Gauss e le equazioni di compatibilità. Superfici astratte. Derivata covariante, trasporto parallelo e geodetiche su una superficie, equazioni del trasporto parallelo ed equazioni delle geodetiche. Geodetiche sulle superfici di rotazione, il teorema di Clairaut. Geodetiche sul semipiano superiore di Poincare. Aree di triangoli geodetici sulla sfera e sul semipiano superiore. Cenni di geometria sferica e iperbolica. Il teorema di Gauss Bonnet.

Secondo modulo:

Serie formali. Serie convergenti. La funzione esponenziale. Argomento di un numero complesso, il logaritmo complesso. Funzioni analitiche reali e complesse. Il principio del prolungamento analitico, zeri di una funzione analitica, funzioni meromorfe.

Funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy Riemann. Integrazione di forme lungo cammini. Forme differenziali chiuse. Primitiva di una forma chiusa lungo un cammino. Integrazione di una forma chiusa lungo cammini omotopi. Indice di un cammino rispetto ad un punto. Il Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Una funzione olomorfa è analitica. Teorema di Morera, disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville e teorema Fondamentale dell'Algebra. Il Principio del Massimo.

Serie di Laurent. Singolarità rimovibili, poli e singolarità essenziali. Teorema dei residui. Esempi di uso del teorema dei residui per il calcolo di integrali reali.

Il Teorema dell'Indicatore Logaritmico. Il Teorema della Mappa Aperta. Reticoli di C e funzioni ellittiche. Il campo E(Ω). Il Teorema di Abel. Convergenza uniforme e normale sui compatti per serie di funzioni meromorfe. La funzione P di Weierstrass relativa ad un reticolo Ω e la sua derivata P' sono funzioni ellittiche. La P e la P' danno una parametrizzazione della curva algebrica piana di grado 3 associata al reticolo Ω. Cenni sulle curve ellittiche.

Testi/Bibliografia

Andrew Pressley: Elementary Differential Geometry, 2nd edition, Springer 2012

Henri Cartan: Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une o plusieurs variables complexes.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per ciascun modulo l'esame consiste in una prova orale tesa ad accertare la conoscenza dei concetti e le dimostrazioni dei teoremi presentati nel corso, e la capacità dello studente di esporre correttamente le connessioni tra i vari argomenti svolti. Inoltre, durante il corso sono assegnati alcuni esercizi, che potranno essere chiesti durante la prova orale.

Il voto finale del corso di Geometria 3 è la media dei voti dei due moduli.

Attenzione: gli studenti che hanno frequentato nell'anno 2018/19 possono presentarsi all'esame del secondo modulo (Analisi Complessa) con il programma del loro anno.

Strumenti a supporto della didattica

Su IOL si trovano le note complete del secondo modulo e un file con esercizi relativi alla parte di analisi complessa.

 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Monica Idà

Consulta il sito web di Mirella Manaresi