81657 - ANALISI MATEMATICA 3

Scheda insegnamento

  • Docente Bruno Franchi

  • Crediti formativi 7

  • SSD MAT/05

  • Lingua di insegnamento Italiano

  • Campus di Bologna

  • Corso Laurea in Matematica (cod. 8010)

Anno Accademico 2019/2020

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce strumenti avanzati e moderni di analisi matematica: spazi di Hilbert e di Banach ed operatori lineari tra essi, convergenza debole, spazi L^p, trasformato di Fourier in L^2, Teorema di Ascoli-Arzelà. Sa usare queste conoscenze per affrontare e risolvere problemi non elementari posti delle scienze applicate. Possiede abilità di apprendimento e un elevato grado di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni e ai programmi dei corsi di laurea di secondo livello.

Contenuti

1) Elementi di teoria astratta della misura. Misure di Borel e di Radon. Decomposizione di Lebesgue, Teorema di Radon-Nikodym.
Spazi L^p: completezza, densita' di alcune classi di funzioni (funzioni semplici, funzioni continue), regolarizzazione (mollificatori di Friedrichs).

2) Spazi di Banach e spazi di Hilbert. Teorema di Baire. Teoremi di Hahn-Banach, di Banach-Steinhaus e del grafico chiuso. Convergenza debole e minimi di funzionali coercive e debolmente inferiormente semicontinui.  

3) Derivate deboli e spazi di Sobolev. Teorema di Lax-Milgram e problema di Dirichlet per operatori ellittici del secondo ordine. 

4) Trasformata di Fourier in L^1, nello spazio di Schwarz S e in L^2.

Testi/Bibliografia

H. Brezis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York.
W. Rudin, Analisi reale e complessa, Boringhieri, Torino

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- esposizione con coerenza alcuni argomenti del corso, dando prova di aver compreso a fondo i concetti fondamentali e i meccanismi di deduzione;

- eventuale risoluzione di esercizi inerenti gli argomenti svolti.

L'esame si articola in una prova scritta di 2 ore (che consisterà in una breve dissertazione su uno degli argomenti del corso) e in un colloquio orale, che devono essere sostenuti entrambi nella stessa sessione. Per poter sostenere la prova orale è necessario aver riportato una votazione non inferiore a 18/30 nella prova scritta.

Il voto finale tiene conto dei risultati conseguiti in entrambe le prove.

Orario di ricevimento

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