73494 - MECCANICA DEI FLUIDI E FENOMENI DI TRASPORTO M

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2019/2020

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire le conoscenze e le metodologie specialistiche relative alla modellazione dei processi di moto dei fluidi, trasporto di calore e di materia sulla base dell’approccio del continuo materiale.

Programma/Contenuti

Richiami di calcolo vettoriale e tensoriale. Tensori di secondo ordine: operazioni e proprietà. Teorema di rappresentazione di Cayley Hamilton e forma generale di funzioni regolari di tensore simmetrico. Gradiente di scalare e di vettore e loro proprietà; applicazioni a campi di velocità e di deformazioni.

Cinematica di un continuo: moto, configurazione di riferimento. Rappresentazione spaziale e rappresentazione materiale delle proprietà. Derivate nel tempo per le due rappresentazioni, derivata sostanziale e derivata parziale. Gradiente del moto (F) e altre misure della deformazione del continuo. Teorema del trasporto di Reynolds. Equazione di continuità.

 

Prima legge della meccanica per mezzo continuo; espressione integrale. Analisi del tetraedro di Cauchy, tensore degli sforzi di Cauchy; sue componenti e condizioni di simmetria. Equazione locale del moto di un continuo: forma lagrangiana e forma euleriana. Equazione del moto come bilancio di quantità di moto. Condizioni statiche: equazioni indefinite di equilibrio per solidi. Caso statico ed equazioni indefinite di equilibrio. Equazione dell'energia meccanica e significato dei termini; lavoro degli sforzi interni. Bilancio locale dell'energia, forma lagrangiana e euleriana; vettore densità di flusso termico, tramite applicazione del tetraedro di Cauchy

Formulazione generale di un problema di termomeccanica del continuo: esigenza di equazioni costitutive per la chiusura del problema. Proprietà generali delle equazioni costitutive. Grandezze oggettive: grandezze scalari, vettoriali e tensoriali ed esempi di grandezze oggettive e non oggettive. Applicazione alle possibili equazioni costitutive per fluidi viscosi con conduzione termica. Applicazioni del principio di oggettività materiale all’equazione costitutiva per gli sforzi.

A) fluido perfetto di Eulero, espressione generale per gli sforzi. Fluidi e fluidostatica: distribuzione di pressione in fluidostatica: caso di fluidi incomprimibili e uso del carico idraulico; caso di fluidi comprimibili. Moto di fluidi perfetti: equazione di Eulero e sue proprietà. Equazione di Bernoulli per moti stazionari e per moti irrotazionali e stazionari. Moti potenziali e potenziale di velocità; moti incomprimibili, potenziale di corrente e suo significato fisico. Moti irrotazionali come classe di moti che soddisfano l'equazione di Eulero. Proprietà di moti irrotazionali; potenziale di velocità e sue proprietà per fluidi incomprimibili. Equazione del moto per fluidi perfetti in termini di vorticità: conseguenze generali. Proprietà di moti incomprimibili: potenziale vettore (per moti in 3 D) e potenziale di corrente per moti bidimensionali. Velocità del suono e stima della variazione relativa di densità in un moto: moti incomprimibili e comprimibili, numero di Mach.

B) fluidi viscosi generali (equazione di Reiner Rivlin) e lineari (newtoniani): legame sforzo velocità di deformazione; viscosità dinamica e viscosità di volume; espressione generale per gli sforzi e per la loro divergenza; fluidi di Stokes (assenza di viscosità di volume), fluidi incomprimibili. Commento sull'applicabilità dell'equazione di Reiner Rivlin. Fluidostatica: calcolo generale delle forza esercitata su un oggetto sommerso (spinta di Archimede), calcolo della forza e del momento esercitati su pareti sommerse. Calcolo della conformazione del pelo libero e della forza applicata su un oggetto sommerso in moti uniformemente accelerati. Effetti della tensione superficiale in capillari: angolo di contatto e determinazione dell'innalzamento o abbassamento di menischi in capillari.

Classificazione dei moti per fluidi viscosi lineari: moti viscosi, moti inerziali; semplificazioni possibili nei due casi e discussione sull'esigenza di studio dello strato limite. Equazione di Navier-Stokes; adimensionalizzazione e valutazione degli ordini di grandezza dei termini; numero di Reynolds e di Froude; differenze fra moti a pelo libero e flussi intubati o attorno oggetti. Moti laminari e turbolenti. Discussione sulle condizioni al contorno necessarie. Riscrittura del problema di moto in termini di potenziale di corrente per moti bidimensionali. Considerazioni generali sulle condizioni al contorno: bilanci di materia e di quantità di moto attraverso superfici di discontinuità; condizioni al contorno non derivanti da bilanci su superfici di discontinuità. Soluzione di diversi esempi di moti laminari, di moti viscosi e di moti di fluidi perfetti.

Moti bidimensionali incomprimibili: potenziale di corrente e sue proprietà: equazioni del moto per fluido newtoniano mediante il potenziale di corrente: discussione. Moto viscoso attorno ad una sfera: impostazione e risoluzione per potenziale di corrente, componenti della velocità, distribuzione del carico; calcolo della forza di attrito: componente di forma e di superficie.

Fattore di attrito e sua dipendenza dal numero di Reynolds. Velocità di caduta di una sfera sia in regime di Stokes sia in regime generico di moto; applicazione al dimensionamento di sedimentatori, alla misura del diametro della sfera e della viscosità. Esempio di moto viscoso transitorio: andamento dello spessore del film aderente ad una parete di serbatoio che si svuota: valutazione degli ordini di grandezza e giustificazione della approssimazione pseudostazionaria; calcolo dello spessore sia con bilancio macroscopico di materia sia da bilancio locale.

Teoria della lubrificazione e cuscinetto Mitchell

Problemi di moto in regime transitorio: Moto transitorio in uno spazio semiinfinito dovuti al trascinamento di una lastra piana (teoria della penetrazione): adimensionalizzazione e soluzione di Boltzman; discussione (teoria della penetrazione). Risoluzione di problemi transitori in geometria piana mediante le trasformate di Laplace: Trascinamento con velocità interfacciale costante in regione semiinfinita; trascinamento con sforzo di taglio costante sulla superficie; velocità costante sulla superficie in regione di spessore finito.

Teoria dello strato limite: impostazione del problema in generale; valutazione degli ordini di grandezza dei termini nell'equazione del moto e andamento dello spessore con la posizione; discussione sull'effetto della distribuzione del carico e distacco dello strato limite. Soluzione di Blasius per strato limite su lastra piana investita parallelamente. Calcolo dello sforzo di taglio e del fattore di attrito per strato limite piano. Valutazione lunghezza di ingresso in un condotto.

Fluidi viscoelastici: generalità sul comportamento fenomenologico: recoil, rilassamento degli sforzi, die-swell, effetto Weissemberg, sifone senza tubo. Modelli qualitativi monodimensionali: modello di Maxwell e modello di Voigt; discussione. Tempo di rilassamento e numero di Deborah; modelli differenziali e modelli integrali. Legami costitutivi limitati a cinematiche particolari: cinematica viscometrica e elongazionale e loro carattristiche dello sforzo: viscosità viscometrica, prima e seconda differenza degli sforzi normali e loro andamento con la velocità di deformazione. Applicazioni allo studio di moti di fluidi non Newtoniani, con legge di potenza e fluidi di Bingham.

Reometria: misure delle caratteristiche dello sforzo in cinematiche viscometriche: reometro di Couette e reometro capillare per misure della viscosità: equazione di Rabinovitch. Reometro cono e piatto: misura della viscosità viscometrica, delle prima e della seconda differenza degli sforzi normali. Moti di trascinamento transitori in fluido di Maxwell: impostazione e discussione. Moto viscoso in mezzi porosi: equazione di Darcy.

Moto di un fluido Newtoniano in un cilindro trascinato da un cilindro coassiale

Moto in letti fissi: calcolo delle perdite di carico, derivazione equazione di Ergun. Caratteristiche del moto turbolento per un fluido newtoniano: andamento della velocità media; valori medi e fluttuazioni di velocità e pressione: equazioni per le grandezze medie: gli sforzi turbolenti di Reynolds: espressione ed andamenti. Ipotesi di chiusura: viscosità turbolenta, lunghezza e velocità di mescolamento di Prandtl; andamento universale della velocità media.

Richiamo sull'ottenimento della espressione del primo principio della termodinamica come equazione dell’energia termica. Il secondo principio della termodinamica: formulazione integrale e formulazione locale. Uso del secondo principio della Termodinamica come vincolo per le equazioni costitutive: impostazione generale per il caso di fluidi viscosi con conduzione termica; disuguaglianza generale e derivazione delle conseguenze: indipendenza dell’energia libera di Helmholtz dal gradiente di temperatura e dalla velocità di deformazione; relazioni fra energia libera, energia interna, entropia e pressione di equilibrio; disuguaglianza della dissipazione; dissipazione termica e meccanica, discussione. Teoremi di rappresentazione per il caso di fluidi viscosi lineari: il cosiddetto principio di Curie.

Problemi di scambio termico. Equazione costitutiva di Fourier; conducibilità termica per mezzi isotropi ed anisotropi (lineari). Equazioni costitutive per l’energia interna; equazione locale del bilancio di energia.

Bilancio di energia nel caso della conduzione termica in mezzi solidi o fluidi in quiete. Impostazione del problema e condizioni iniziali e al contorno.

Conduzione transitoria in lastra piana semiinfinita: condizione al contorno sul valore della temperatura, teoria della penetrazione e soluzione per analogia con il caso di moto transitorio per trascinamento. Calcolo della densità di flusso termico scambiato e del coefficiente di scambio termico; discussione. Soluzione del problema transitorio relativo allo scambio fra due regioni semiinfinite.

Problemi bidimensionali di conduzione termica stazionaria: uso delle trasformazioni conformi: esempi. Conduzione stazionaria in aletta piana; impostazione del problema dello studio della aletta cilindrica. Equazioni di Bessel e equazioni di Bessel modificate: integrali particolari: funzioni di Bessel e funzioni di Bessel modificate di primo e di secondo tipo. Risoluzione del problema della determinazione dell'efficienza di una aletta cilindrica. Conduzione transitoria in regione piana semiinfinita: condizione al contorno sul valore della temperatura, teoria della penetrazione e soluzione per analogia con il caso di moto transitorio per trascinamento. Calcolo della densità di flusso termico scambiato, del calore scambiato e del coefficiente di scambio termico; discussione. Soluzione del problema transitorio relativo allo scambio fra due regioni semiinfinite.

Risoluzione di dettaglio del problema transitorio per una lastra piana di spessore finito: soluzione per separazione delle variabili (serie di Fourier) e soluzione con la trasformata di Laplace (serie di funzioni degli errori complementari). Caso di temperature uguali nelle due pareti e di temperature diverse. Calcolo del flusso termico e del calore scambiato in un dato intervallo. Discussione sulla praticità di uso di ciascuno dei due metodi di soluzione. Problema transitorio in geometria cilindrica: soluzione per serie di funzioni di Bessel.

Problemi ci conduzione termica transitori, monodimensionali, con condizioni al contorno di scambio: soluzioni adimensionali e grafici disponibili. Soluzioni prodotto per problemi di scambio termico transitorio di conduzione bidimensionale. Problemi di scambio termico in fluidi in moto: a) convezione forzata, adimensionalizzazione del problema , numero di Peclet e determinazione della dipendenza del numero di Nusselt dai numeri adimensionali; convezione forzata; b) convezione naturale, adimensionalizzazione del problema del moto, numero di Grashof, adimensionalizzazione del problema di scambio termico e dipendenza del numero di Nusselt dai numeri adimensionali di Grashof e Prandtl.

Soluzione di dettaglio del problema di strato limite termico su lastra piana; determinazione del coefficiente di scambio e correlazione di Chilton e Colbourn. Discussione sulle analogie e differenze fra trasporto termico e trasporto di quantità di moto. Strato limite termico per metalli liquidi e correlazione per il numero di Nusselt

Fenomeni di trasporto di materia: generalità. Velocità e densità di flusso della specie; velocità e densità di flusso diffusiva. Bilanci di materia locali: forma euleriana e forma Lagrangiana. Equazioni costitutive per la densità di flusso diffusiva: gradiente di potenziale chimico come forza motrice e mobilità; discussione. Equazione costitutiva di Fick; proprietà del coefficiente di diffusione in miscela binaria

Diffusività: dimensioni, andamenti con temperatura e pressione; ordini di grandezza nei diversi stati di aggregazione delle fasi. Equazione di scambio di materia per soluzioni fickiane. Analogie con lo scambio termico. Condizioni al contorno di equilibrio. Misure della diffusività mediante tubo di Stefan e soluzione del problema di trasporto in film stagnante; discussione sul moto di insieme indotto dalla diffusione.

Problemi di scambio di materia stazionario: geometria piana, cilindrica e sferica; condizioni al contorno. Diffusione in film stagnante. Trasporto attraverso pareti composite. Impostazione del problema transitorio.

Problemi di scambio di materia in condizioni transitorie: impostazione del problema, soluzioni esatte in strato semi-infinito ed in strati piani finiti: assorbimento transitorio in strato piano; permeazione transitoria in strato piano. Uso dei risultati per la misura dei coefficienti di diffusione: metodo a bassi tempi e metodo ad alti tempi; metodo del time-lag. Permeabilità di gas e di liquidi.

Trasporto con reazione chimica: studio del comportamento di catalizzatori isotermi: geometria piana, cilindrica e sferica; impostazione e soluzione del problema della determinazione del profilo di concentrazione; modulo di Thiele ed efficienza del catalizzatore. Discussione

Calcolo esplicito dell'efficienza del catalizzatore in geometria cilindrica. Scambio di materia con un film liquido che scende per gravità: calcolo del coefficiente di scambio. Scambio di materia con un fluido in moto: analisi dimensionale del problema generale e relazioni per il calcolo del coefficiente di scambio di materia nei casi di convezione forzata e naturale; analogia con lo scambio termico.

Problemi di strato limite nello scambio di materia e di energia; impostazione del problema e andamento degli spessori degli strati limite. Soluzione del problema per il profilo di concentrazione e calcolo del coefficiente di scambio; analogia di Chilton e Colbourn. Discussione.

Problemi di diffusione transitoria risolti: scambio di materia fra due fasi (regioni piane semiinfinite); problema di diffusione in processi di impiantazione ionica. Determinazione delle lunghezze di entrata nei problemi di scambio termico e di scambio di materia: discussione. Diffusione con reazione chimica: reazione chimica superficiale ed esempi di ossidazione di metalli: impostazione generale e giustificazione della approssimazione pseudo-stazionaria; risoluzione, andamento dello spessore nel tempo e della velocità di crescita. Diffusione e reazione in fase liquida omogenea stazionaria: profilo di concentrazione funzione del numero di Damkholer.

Calcolo del coefficiente di scambio di materia; analogia fra fenomeni di trasporto; esempi e discussione

Assorbimento con reazione chimica: calcolo del coefficiente di scambio e del fattore di incremento per reazione irreversibile istantanea: modello di Hatta. Calcolo del coefficiente di scambio per reazione con cinetica lenta e veloce con teoria del film. Cenni sui problemi di trasporto turbolento e sui fenomeni di dispersione in moto laminare (Taylor-Aris) ed in mezzi porosi: dipendenza del coefficiente di dispersione dal numero di Péclèt.

Testi/Bibliografia

W.M. Deen, “Introduction to Chemical Engineering Fluid Mechanics ”, Cambridge University Press, 2016

Metodi didattici

Lezioni in aula

Modalità di verifica dell'apprendimento

Ogni appello d'esame prevede due prove scritte, una prova con domande a risposte multiple suggerite (DRMS) e una prova con problemi a risposta aperta (PRA), previste in due giorni diversi nell'arco di una settimana. Per il superamento dell'esame occorre superare positivamente entrambe le prove, nello stesso appello; alla seconda prova (PRA) si è ammessi solo previo superamento della prima (DRMS). Il punteggio massimo previsto per la prima prova è di 12 trentesimi (la prova è superata con il conseguimento di un punteggio pari a 6 o superiore) e quello per la seconda prova è pari a 24 trentesimi (la prova è superata con il conseguimento di un punteggio pari a 12 o superiore).

Solo per il primo appello previsto nella sessione estiva, è ammesso alla prova PRA anche lo studente che ha superato positivamente le due prove parziali DRMS proposte in itinere nel semestre di erogazione del corso.

Strumenti a supporto della didattica

Note di lezione

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Ferruccio Doghieri

Consulta il sito web di Giovanni Cocchi