65934 - ISTITUZIONI DI MATEMATICA 2

Scheda insegnamento

  • Docente Andrea Mentrelli

  • Crediti formativi 8

  • SSD MAT/05

  • Modalità didattica Convenzionale - Lezioni in presenza

  • Lingua di insegnamento Italiano

  • Orario delle lezioni dal 23/09/2019 al 17/12/2019

Anno Accademico 2019/2020

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce gli strumenti di base del calcolo differenziale multivariato; sa calcolare semplici integrali curvilinei e integrali doppi; è altresì in grado di risolvere alcuni tipi di Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO) e di sistemi di EDO. Ha inoltre conoscenza delle basi probabilistiche e statistiche per analizzare dati ed è in grado di studiare il comportamento di campioni di una variabile aleatoria.

Programma/Contenuti

Prima parte del corso

Sviluppi in serie. Breve richiamo allo sviluppo in serie di Taylor di funzioni di una variabile e breve introduzione allo sviluppo in serie di Fourier.

Funzioni di più variabili. Dominio e immagine. Grafici e curve di livello per funzioni di due variabili. Grafici e superfici di livello per funzioni di tre variabili. Limiti e continuità. Funzioni polinomiali e razionali.

Derivate parziali. Definizione e interpretazione geometrica delle derivate parziali. Differenziabilità, piano tangente e sviluppo in serie per funzioni di due variabili. Derivate direzionali. Gradiente. Massimi, minimi e punti critici. Richiamo su autovalori, autovettori e matrici definite di segno. Derivata materiale. 

Campi vettoriali. Conservatività di un campo e potenziale. Verifica dell’esistenza del potenziale di un campo di forze. Calcolo del potenziale per un campo conservativo. Divergenza e rotore, e loro significato. Derivata temporali parziale, totale e materiale. Cenno all'equazione di continuità e ai punti di vista euleriano e lagrangiano in fluidodinamica.

Equazioni differenziali alle derivate ordinarie. Crescita e decadimento esponenziali. Equazioni del primo ordine. Problema ai valori iniziali. Verifica delle soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni del primo ordine lineari e tecnica generale per la loro soluzione. Cenni al modello di crescita logistica. Equazioni lineari omogenee del secondo ordine. Cenni alla soluzione di equazioni lineari del secondo ordine non omogenee. Cenno ai modelli ad un compartimento.

Modelli ad un compartimento. Introduzione ai modelli ad un compartimento; tasso relativo e tasso assoluto; tasso di assorbimento e tasso di eliminazione.

Sistemi di due equazioni differenziali alle derivate ordinarie. Metodo di riduzione e metodo delle matrici. Traiettorie. Punti di equilibrio. Stabilità dell’origine. Sistemi di due equazioni non lineari: linearizzazione attorno ad un punto di equilibrio e discussione della stabilità. Modello di crescita logistica per la coesistenza di due specie. Modello preda/predatore di Lotka-Volterra con discussione e interpretazione della stabilità.

Seconda parte del corso

Statistica descrittiva. Introduzione alla statistica. Campioni e popolazioni. Rappresentazione grafica dei dati raccolti. Grandezze che sintetizzano i dati: media, mediana, moda campionarie; quartili e percentili; varianza e deviazione standard campionarie; coefficienti di asimmetria. Box-plot.

Teoria della probabilità. Spazio degli eventi, eventi. Eventi incompatibili. Assiomi di Kolmogorov. Spazi equiprobabili. Partizioni. Probabilità condizionata e Teorema di Bayes (cenno). Variabili casuali. Legge di distribuzione di probabilità. Funzione di ripartizione. Funzione densità di probabilità. Valore medio e varianza. Esperimento di Bernoulli e distribuzione binomiale. Leggi di distribuzione di Poisson, esponenziale, normale (e normale standardizzata), chi-quadrato, t di Student.

Distribuzioni delle statistiche campionarie. Introduzione alla inferenza statistica. Media e varianza della media campionaria. Teorema del limite centrale. Correzione di continuità. Valore medio della varianza campionaria. Distribuzione congiunta della media e della varianza campionarie.

Stime parametriche. Stimatori e stime. Funzione di verosimiglianza. Stimatore di massima verosimiglianza. Intervalli di confidenza bilateri e unilateri.

Test di ipotesi. Ipotesi nulla e alternativa. Errori di prima e seconda specie. Livello di significatività e p-dei-dati. Regione critica. Curva operativa caratteristica. Test unilateri e bilateri. Test su popolazioni non normali. Test su popolazioni con media e varianza incognita (t test). Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza incognita. Verifica se due popolazioni normali hanno la stessa media.

Regressione lineare. Stima dei parametri di regressione. Il metodo dei minimi quadrati.

Testi/Bibliografia

Materiale fornito dal docente composto da:

  • slides utilizzate a lezione;
  • fogli di esercizi relativi a tutti gli argomenti trattati.

Durante la prima lezione del corso viene distribuita e commentata una lista di libri di testo ausiliari di possibile (ma non necessaria) consultazione.

Metodi didattici

Le lezioni sono impostate in modo tale da mettere in risalto gli aspetti applicativi della materia, in particolare nel campo di applicazione di maggiore interesse per il corso di studi in Scienze Ambientali.

Gli argomenti vengono presentati con numerosi esempi ed esercizi. Al termine di ogni argomento è prevista una esercitazione con lo svolgimento integrale di ulteriori esercizi.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta composta di quattro esercizi sulla prima parte del corso e quattro esercizi sulla seconda parte del corso. Affinché l'esito della prova sia favorevole, si richiede il raggiungimento della sufficienza in entrambi i blocchi di esercizi. La durata della prova è di due ore.

Tutti gli esercizi sono confrontabili (per tipologia e per livello di difficoltà) con quelli svolti durante le esercitazioni e con gli esercizi supplementari resi disponibili dal docente durante il corso.

Strumenti a supporto della didattica

Le lezioni frontali sono svolte con ausilio sia della lavagna che di slides in formato elettronico. Le slide sono rese disponibili generalmente in anticipo rispetto alla lezione. 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Mentrelli