27991 - ANALISI MATEMATICA T-1 (L-Z)

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2018/2019

Contenuti

PROPRIETA' DEI NUMERI REALI, LIMITI E CONTINUITÀ. Richiami sulle funzioni: composizione di funzioni, funzioni invertibili e funzioni inverse. Generalita' sulle funzioni reali di una variabile reale; funzioni monotone. Definizione di successione di numeri reali convergente e divergente. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teoremi di confronto, dei due carabinieri. L'algebra dei limiti. Successioni monotone e loro limiti. Il numero e. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Definizione di funzione continua di una variabile reale. I teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Definizione di limite per funzioni reali di una variabile reale; estensione dei risultati stabiliti per le successioni. Continuità della composizione di due funzioni continue e il teorema di cambiamento di variabile nei limiti. Limiti unilateri. Il teorema sui limiti delle funzioni monotone. Asintoti. Le funzioni circolari inverse. Le funzioni iperboliche e le loro inverse.
CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Il calcolo delle derivate. I teoremi del valor medio e loro applicazione allo studio della monotonia di una funzione. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano. Estremanti locali: definizioni, condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Funzioni convesse.
CALCOLO INTEGRALE. Definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Condizioni sufficienti di integrabilita'. I teoremi fondamentali del calcolo integrale. I teoremi di integrazione per sostituzione e di integrazione per parti. Funzioni continue a tratti e proprieta' dei loro integrali. Integrali generalizzati: definizioni, convergenza assoluta, criterio del confronto.
NUMERI COMPLESSI. Definizione e operazioni sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso, modulo e argomento di un numero complesso, forma esponenziale di un numero complesso. Formula di de Moivre, radici di un numero complesso, equazioni algebriche in C, la funzione esponenziale complessa.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Estensione al caso di equazioni a coefficienti variabili e di ordine qualunque.

Testi/Bibliografia

TEORIA: Marcellini P.-Sbordone C.: Analisi Matematica 1 - Liguori Editore

ESERCIZI: M. Bramanti - Esercitazioni di Analisi 1, Ed. Esculapio, Bologna, 2011

Altri testi per la teoria di consultazione:

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli - Analisi Matematica, ed. McGraw Hill. (seconda edizione)

G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 1, ed. Zanichelli.

Altri testi per gli esercizi:

M. Amar, A.M. Bersani: Esercizi di Analisi Matematica 1, Ed. Esculapio, Bologna, 2011

P. Marcellini-C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, volume 1, ed. Liguori

Metodi didattici

Il corso prevede lo svolgimento di lezioni di carattere teorico (in cui vengono presentati i concetti fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale). Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre vengono svolti numerosi esercizi in aula.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta preliminare della durata di tre ore e in una prova relativa alla teoria.
La prova scritta consiste nello svolgimento di esercizi relativi agli argomenti svolti nel corso. Per sostenere la prova scritta occorre iscriversi in lista su AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/] Se la prova scritta è superata, si ha accesso alla prova sulla teoria, in cui lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti spiegati nel corso (in particolare definizioni e teoremi) e di saperli collegare tra loro. La prova di teoria potrà essere sostenuta anche nell'appello successivo a quello in cui è stato superato lo scritto, purché all'interno della sessione.

Strumenti a supporto della didattica

Libro di testo consigliato, esercizi e altro materiale online disponibile presso l'indirizzo web su https://iol.unibo.it/

Tutorato (se assegnato).

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giovanni Cupini