85161 - MEASURE THEORY

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2018/2019

Conoscenze e abilità da conseguire

By the end of the course the student is familiar with the basic concepts and results of Lebesgue measure theory (outer measure, measurable sets and connections with topology, Borel sigma algebra) as well as of Lebesgue theory of integrals (measurable functions/random variables, convergence theorems, the Fubini/Tonelli theorem for multivariate integration).

Programma/Contenuti

I) Misura esterna e misura in R^n.

1.1 Sulla cardinalita' di insiemi infiniti. Insiemi NUMERABILI

1.2 Ricoprimenti Lebesguiani 

1.3 Misura esterna in R^n

1.4 Sottoinsiemi misurabili di R^n

1.5 Proprieta' fondamentali della misura e degli insiemi misurabili

1.6 Teoremi di passaggio al limite per successioni "annidate" di insiemi misurabili

1.7 Misurabilita' e topologia. Sigma-algebre

1.8 Sigma-algebre generate da una famiglia di sottoinsiemi. La Sigma-algebra dei Boreliani di R^n

1.9 La Sigma-algebra B(R) dei Boreliani di R

1.10 Boreliani, misurabilita' e misura interna

1.11 Trasformazioni di coordinate e proprieta' di invarianza della misura

II) Funzioni misurabili ed integrale di Lebesgue

2.1 Funzioni misurabili

2.2 Richiami sull' integrale di Riemann

2.3 Integrale di Lebesgue per funzioni semplici

2.4 Integrale di Lebesgue per funzioni limitate con dominio di misura finita

2.5 Integrale di Lebesgue per funzioni misurabili non-negative

2.6 Funzioni sommabili ed integrale generale di Lebesgue

III) Calcolo di misure ed integrali per domini in R^n : Teorema di Fubini-Tonelli ed "integrali multipli"

Testi/Bibliografia

1) Note del Docente su Files Pdf scaricabili dal sito

2)H.L. Royden, Real Analysis, The Macmillan Company, 1968

Metodi didattici

Durante le lezioni verranno discussi i concetti e metodi generali della Teoria della Misura e dell'Integrazione secondo Lebesue in R^n. 

Durante le lezioni verranno proposti esercizi, alcuni dei quali svolti dal Docente, altri verranno lasciati come lavoro individuale.

Le esercitazioni hanno lo scopo di fornire la possibilitá a ciascun studente di misurarsi nella elaborazione di soluzioni autonome dei problemi concreti che verranno posti applicando le nozioni teoriche apprese durante le lezioni.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova finale orale della durata di 45 minuti. Si verifichera' la competenza dello studente sia a livello di acquisizione di metodi e concetti che di applicazione a casi concreti.

Lo Studente preparerà cinque dimostrazioni a propria scelta (fra quelle discusse durante lo svolgimento del corso). Una tra esse sarà oggetto di domanda di esame.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Brini