66736 - METODI NUMERICI

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli aspetti fondamentali di metodologie dell'algebra lineare numerica e dell'analisi numerica utilizzabili nei sistemi informatici. Particolare attenzione sarà rivolta all'acquisizione di strumenti di base matematicocomputazionali tipici di alcune applicazioni come l'elaborazione di segnali ed immagini e l'analisi di dati strutturati.

Contenuti

1. Il Calcolo Numerico - Obiettivi e problemi nella risoluzione di problemi pratici al calcolatore.

2. Numeri Finiti - Rappresentazione dei numeri reali. I numeri finiti. Errori di rappresentazione. Aritmetica floating point. Analisi dell’errore nelle operazioni aritmetiche elementari. Propagazione degli errori: stabilità e condizionamento.

3. Zeri di Funzioni - Formulazione del problema. Tecniche di Risoluzione. Metodi iterativi, convergenza e ordine dei metodi. Metodi a convergenza locale e a convergenza globale. Metodo di bisezione e altri metodi del primo ordine a convergenza globale. Metodo delle iterazioni successive. Teorema di convergenza. Un metodo del secondo ordine: il metodo di Newton. Metodi quasi-Newton: il metodo delle secanti.

4. Richiami di Algebra Lineare - Richiami su vettori, matrici e spazi vettoriali. Norme di vettori e norme di matrici.

5. Soluzione numerica di Sistemi Lineari - L’algoritmo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LR di una matrice. Stabilità della fattorizzazione LR. Indice di condizionamento di una matrice e buona posizione del problema. Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche e definite positive. Varianti dell’algoritmo di eliminazione di Gauss per la fattorizzazione di matrici tridiagonali. Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari: condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Metodo di Jacobi e Metodo di Gauss Seidel.

6. Interpolazione - Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità del polinomio interpolatore. Valutazione del polinomio interpolatore: forma di Lagrange e forma di Newton. Espressione dell’errore nell'interpolazione polinomiale. Problemi di convergenza. Cenni sull’interpolazione con funzioni spline.

7. Approssimazione ai minimi quadrati. Metodo delle equazioni normali, metodo QRLS.

8. Integrazione Numerica - Formule di quadratura di Newton-Cotes. Formule semplici e formule composte. Errore delle formule di integrazione semplici e composte. Metodi adattivi.

9. Analisi di Fourier: serie di Fourier, trasformata continua di Fourier, trasformata discreta di Fourier; proprietà; teorema di convoluzione e di correlazione; Fast Fourier Transform (FFT). Tecniche di Filtraggio di segnali nel dominio di Fourier: filtri lowpass, filtri highpass.

Testi/Bibliografia

Fondamentale sarà l’utilizzo degli appunti presi a lezione e del materiale informatico reso disponibile in rete. Per ulteriori approfondimenti si consigliano:

[1] A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB, Springer Verlag, 2006

[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer Verlag, 2000

[3] R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, 1992

[4] E. O. Brigham, The Fast Fourier Transform and its applications, Prentice-Hall, New Jersey, USA, 1988.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio. Più precisamente, alle lezioni frontali in aula in cui vengono presentati i metodi numerici di base per risolvere problemi classici della matematica mediante l'uso di un calcolatore, fanno seguito esercitazioni in laboratorio che mirano all’implementazione di tali metodi in MATLAB e allo sviluppo di un’adeguata sensibilità e consapevolezza del loro utilizzo.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d’esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo numerico, illustrati durante le lezioni frontali;

- capacità di impiegare i metodi numerici di base per risolvere problemi reali mediante calcolatore.

L’esame di fine corso (la cui valutazione è in trentesimi) si svolgerà in un’unica prova che comprende, sia la realizzazione al calcolatore di codici MATLAB per la risoluzione di problemi numerici, che la risposta scritta a domande teoriche sugli argomenti trattati nelle lezioni frontali.

Durante la prova non è ammesso l’uso di materiale di supporto quale libri di testo, appunti, supporti informatici.

Strumenti a supporto della didattica

Il corso prevede un’attività di laboratorio in cui si utilizzerà il software MATLAB. Il relativo materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente in formato elettronico e sarà reperibile sul sito web del docente.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Lucia Romani

Consulta il sito web di Damiana Lazzaro

Consulta il sito web di