04524 - ANALISI NUMERICA

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2018/2019

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce gli aspetti numerico-matematici e le principali metodologie algoritmiche che gli permettono di risolvere al calcolatore problemi di interesse nell'ingegneria. In particolare: i metodi di algebra lineare numerica per risolvere sistemi lineari e non lineari, problemi lineari ai minimi quadrati, modelli differenziali. Lo studente effettua esercitazioni e progetti svolti insieme al docente in laboratorio con l’ausilio del software MATLAB.

Programma/Contenuti

1. Il Calcolo Scientifico - Obiettivi e problemi nella risoluzione di problemi applicativi al calcolatore.

2. Numeri Finiti - Rappresentazione dei numeri reali. I numeri finiti. Errori di rappresentazione. Aritmetica floating point. Analisi dell’errore nelle operazioni aritmetiche elementari. Propagazione degli errori: stabilità e condizionamento.

3. Zeri di Funzioni - Formulazione del problema. Tecniche di Risoluzione. Metodi iterativi, convergenza e ordine dei metodi. Metodi a convergenza locale e a convergenza globale. Metodo di Bisezione e altri metodi del primo ordine a convergenza globale. Metodo delle iterazioni successive. Teorema di convergenza. Un metodo del secondo ordine: il metodo di Newton. Metodi quasi-Newton: il metodo delle secanti.

4. Richiami di Algebra Lineare - Richiami su vettori, matrici e spazi vettoriali. Norme di vettori e norme di matrici.

5. Soluzione numerica di Sistemi Lineari - L'algoritmo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LR di una matrice. Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche e definite positive. Varianti dell'algoritmo di eliminazione di Gauss per la fattorizzazione di matrici tridiagonali.

6. Interpolazione - Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità del polinomio interpolatore. Valutazione del polinomio interpolatore: forma di Lagrange e forma di Newton. Espressione dell'errore nell'interpolazione polinomiale. Problemi di convergenza. Cenni sull'interpolazione con funzioni spline.

7. Approssimazione ai minimi quadrati. Metodo delle equazioni normali, metodo QRLS. Decomposizione in valori singolari.

8. Integrazione Numerica - Formule di quadratura di Newton-Cotes. Formule semplici e formule composte. Errore delle formule di integrazione semplici e composte. Metodi adattivi.

9. Soluzione numerica di Equazioni differenziali Ordinarie: metodi ad un passo; controllo dell'errore; definizione del passo.

Testi/Bibliografia

Fondamentale sarà l’utilizzo degli appunti presi a lezione e del materiale informatico reso disponibile in rete. Per ulteriori approfondimenti si consigliano:

[1] A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB, Springer Verlag, 2006

[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer Verlag, 2000

[3] R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, 1992

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio. Più precisamente, alle lezioni frontali in aula in cui vengono presentati i metodi numerici di base per risolvere problemi classici della matematica mediante l'uso di un calcolatore, fanno seguito esercitazioni in laboratorio che mirano all’implementazione di tali metodi in MATLAB e allo sviluppo di un’adeguata sensibilità e consapevolezza del loro utilizzo.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova d’esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo numerico, illustrati durante le lezioni frontali;

- capacità di impiegare i metodi numerici di base per risolvere problemi reali mediante calcolatore.

L’esame di fine corso (la cui valutazione è in trentesimi) si svolgerà in un’unica prova che comprende, sia la realizzazione al calcolatore di codici MATLAB per la risoluzione di problemi numerici, che la risposta scritta a domande teoriche sugli argomenti trattati nelle lezioni frontali.

Durante la prova non è ammesso l’uso di materiale di supporto quale libri di testo, appunti, supporti informatici.

Strumenti a supporto della didattica

Il corso prevede un’attività di laboratorio in cui si utilizzerà il software MATLAB. Il relativo materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente in formato elettronico e sarà reperibile sul sito web del docente.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Lucia Romani