27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2018/2019

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile.

Programma/Contenuti

- Introduzione
Cenni di teoria degli insiemi.
Prodotto cartesiano. Relazioni.
Definizione di funzione.
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Composizione tra funzioni. Funzioni invertibili.
Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e insieme quoziente.
Relazioni d'ordine. Insiemi ordinati.
Maggioranti e minoranti. Massimi e minimi.
Estremo superiore e inferiore.
Completezza. Sezioni di Dedekind.
Numeri reali.
Numeri naturali. Principio di induzione.
Numeri interi. Numeri razionali.
Proprietà di densità.
Cenni sulla cardinalità.
Cenni di topologia in R. Intervalli e intorni.
Punti interni, di frontiera, di accumulazione, isolati, di aderenza.
Insiemi aperti e chiusi.
Esempi ed esercizi.



- Successioni

Definizioni e proprietà. Definizione di limite.
Successioni convergenti, divergenti, indeterminate.
Sottosuccessioni. Unicità del limite.
L'algebra dei limiti.
Teorema della permanenza del segno.
Teorema del confronto e dei due carabinieri.
Successioni limitate. Proprietà e teoremi.
Infiniti e infinitesimi. Equivalenza asintotica e o-piccolo.
Successioni monotone. Esistenza del limite per successioni monotone.
Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Insiemi compatti. Teorema di Heine-Borel.
Criterio del rapporto. Criterio della radice.
Teorema di Cesàro.
Successioni di Cauchy. Completezza sequenziale di R.
Successioni definite per ricorrenza.
Esempi ed esercizi.


- Funzioni reali di variabile reale
Definizione di limite. Unicità del limite.
Limite per restrizioni. Limite destro e sinistro.
Equivalenza fra le definizioni di limite per intorni e per successioni.
L'algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno.
Teorema del confronto e dei due carabinieri.
Funzioni limitate e monotone. Limiti per funzioni monotone.
Funzioni continue. Definizioni ed esempi.
Prime proprietà delle funzioni continue.
Composizione di funzioni continue.
Continuità e compattezza. Teorema di Weierstrass.
Teorema di Bolzano. Teorema dei valori intermedi.
Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor.
Proprietà elementari delle funzioni. Funzioni simmetriche.
Funzioni periodiche. Asintoti.
Funzioni potenza.
Funzioni esponenziali e logaritmiche.
Funzioni trigonometriche e loro inverse.
Funzioni iperboliche e loro inverse.
Esempi ed esercizi.


- Calcolo differenziale
Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione.
Caratterizzazione delle funzioni derivabili.
Relazione tra funzioni derivabili e funzioni continue.
Derivate di somme, prodotti e quozienti di funzioni derivabili.
Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa.
Derivata delle funzioni elementari.
Estremanti locali. Punti critici. Teorema di Fermat.
Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy.
Funzioni differenziabili su intervalli e monotonia.
Teorema di Darboux. Teorema di de l'Hôpital.
Derivate di ordine superiore.
Funzioni polinomiali e proprietà.
Formula di Taylor con resto di Peano.
Formula di Taylor con resto di Lagrange.
Polinomi di Taylor di funzioni elementari.
Funzioni convesse. Teoremi e caratterizzazioni.
Determinazione di estremanti o flessi mediante derivate successive.
Studio di grafici di funzioni.
Esempi ed esercizi.


- Calcolo integrale

Scomposizioni. Somme inferiori e superiori.
Definizioni e proprietà. Integrale inferiore e superiore.
Integrabilità secondo Riemann. Teorema di Riemann.
Proprietà delle funzioni integrabili.
Integrabilità di funzioni monotone, continue.
Teorema della media integrale. Funzione integrale e primitive.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Primitive di funzioni razionali.
Integrali generalizzati. Definizioni e proprietà.
Criteri del confronto. Convergenza assoluta.
Criteri di convergenza per funzioni a segno non costante.
Esempi ed esercizi.

 

- Serie numeriche
Somme parziali. Definizioni e proprietà.
Serie telescopiche. Serie geometrica.
Criteri del confronto. Teorema di Cauchy.
Criterio della radice. Criterio del rapporto.
Criterio di condensazione di Cauchy.
Criterio integrale. Convergenza assoluta.
Criterio di Abel-Dirichlet. Criterio di Leibniz.
Esempi ed esercizi.

 

- Numeri complessi
Definizioni e proprietà.
Forma algebrica e forma trigonometrica.
Formula di de Moivre. Radici n-esime.
Formula di Eulero. Forma esponenziale.
Esempi ed esercizi.

Testi/Bibliografia

- P.Marcellini, C.Sbordone. Elementi di Analisi Matematica Uno,
Liguori Editore.

- E.Giusti. Analisi matematica 1,
Bollati Boringhieri Editore.

- M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare,
Zanichelli Editore.

- G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht, Elementi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.

- E.Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 1, Pitagora.

- P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica - I vol.,
Liguori Editore

- E.Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica,
Bollati Boringhieri Editore.

- S.Salsa, A.Squellati. Esercizi di Analisi matematica Vol. 1,
Zanichelli Editore.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta preliminare: alcuni esempi di compiti d'esame si possono trovare al seguente indirizzo

http://www.dm.unibo.it/~martino/teaching.html

Il superamento della prova scritta permette l'accesso alla prova orale finale.

Strumenti a supporto della didattica

Alcuni esercizi riguardanti i vari argomenti trattati ed esempi di compiti d'esame si possono trovare al seguente indirizzo:

http://www.dm.unibo.it/~martino/teaching.html

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~martino/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Vittorio Martino