73702 - MECCANICA RAZIONALE

Scheda insegnamento

  • Docente Augusto Muracchini

  • Crediti formativi 6

  • SSD MAT/07

  • Modalità didattica Convenzionale - Lezioni in presenza

  • Lingua di insegnamento Italiano

  • Orario delle lezioni dal 20/02/2019 al 05/06/2019

Anno Accademico 2018/2019

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscere le basi teoriche per la trattazione analitica dei problemi statici e dinamici delle costruzioni; vengono studiate le grandezze fondamentali della meccanica, le forze e i vincoli, la statica e la dinamica dei corpi rigidi, le sollecitazioni equivalenti e il problema dell'equilibrio.

Programma/Contenuti

PREREQUISITI: Sono indispensabili (e richieste) le conoscenze di base del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali. Sono altresì utili le conoscenze di base della geometria euclidea.

PROGRAMMA

Richiami di calcolo vettoriale - Componenti cartesiane di un vettore. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Doppio prodotto vettoriale.Gradiente, divergenza, rotore. Generalità sulla teoria degli operatori matriciali.

Vettori applicati - Momento polare ed assiale di un vettore applicato. Sistemi di vettori applicati. Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati. Coppie. Invariante scalare. Asse centrale. Operazioni elementari. Riduzione di un sistema di vettori applicati e e teoremi di riducibilità. Sistemi piani. Sistemi di vettori paralleli. Centro.

Cinematica del punto - Descrizione cinematica del moto di un punto. Velocità, accelerazione e loro diverse rappresentazioni. Moti piani in coordinate polari. Cenno al caso dei moti centrali.

Cinematica dei sistemi - Vincoli e loro classificazione. Sistemi olonomi. Gradi di libertà di un sistema olonomo. Coordinate generalizzate. Spazio delle configurazioni. Spostamenti possibili e virtuali di un sistema olonomo. Velocità di un sistema olonomo. Breve descrizione di alcuni sistemi anolonomi.

Cinematica dei sistemi rigidi - Corpo rigido e vincolo di rigidità. Riferimento solidale. Velocità angolare e formule di Poisson. Legge di distribuzione delle velocità, degli spostamenti e delle accelerazioni. Caratterizzazione dei moti rigidi. Angoli di Eulero. Formule di Eulero. Punto di vista lagrangiano ed euleriano. Atti di moto rigido e loro classificazione. Teorema di Mozzi.

Cinematica dei moti relativi - Inquadramento del problema. Derivata di un vettore rispetto a due osservatori (Teorema di derivazione relativa). Teorema di composizione delle velocità (Teorema di Galileo), delle accelerazioni (Teorema di Coriolis) e delle velocità angolari. Rotolamento e puro rotolamento di due curve rigide.

Moti rigidi piani - Generalità. Centro istantaneo di rotazione e proprietà ad esso connesse. Traiettorie polari (base e rulletta) e loro determinazione.

Geometria delle masse - Concetti di massa e densità. Baricentro di un sistema particellare e continuo. Teoremi relativi alle proprietà di ubicazione del baricentro. Momenti di inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Momento di inerzia rispetto ad assi concorrenti. Matrice di inerzia. Assi principali di inerzia e loro determinazione. Ellissoide di inerzia.

Cinematica delle masse - Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica. Teorema del baricentro. Sistema baricentrale e moto relativo al baricentro. Primo e secondo teorema di König. Rappresentazione della quantità di moto, momento della quantità di moto ed energia cinetica di un corpo rigido. Struttura della energia cinetica di un sistema olonomo.

Forze, Lavoro e Potenziale - Concetto di forza e lavoro. Lavoro elementare reale e virtuale. Lavoro di una forza lungo un cammino finito. Forze posizionali. Forze conservative e loro potenziale. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di un sistema di forze applicate ad un corpo rigido e ad un sistema olonomo.

Leggi della meccanica - Breve introduzione storica ai principi della meccanica classica. Principio di inerzia. Secondo principio della dinamica. Principio di azione e reazione. Struttura matematica del II° principio, ruolo delle condizioni iniziali e struttura deterministica della meccanica classica. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Principio di relatività di Galileo. Teorema delle forze vive, principio di conservazione della energia, integrali primi del moto ed esempi di loro uso in ambito meccanico. Vari esempi di dinamica del punto materiale (oscillatore armonico, moti smorzati, moti forzati, pendolo semplice, cenno ai moti centrali). Postulato delle reazioni vincolari. Equazioni cardinali della dinamica. Alcuni esempi di dinamica del corpo rigido.

Statica del punto e dei sistemi - Attrito coulombiano e legge di Coulomb-Morin. Vincoli privi di attrito. Definizione di quiete e di equilibrio. Equilibrio di un punto e di un sistema. Equazioni cardinali della statica e discussione della loro necessità e sufficienza. Statica del punto con applicazioni (punto vincolato su curva e superficie sia in assenza di attrito che con attrito, statica relativa, forza centrifuga). Vincoli piani. Equilibrio del corpo rigido con applicazioni (corpo rigido con un punto fisso, con asse fisso, equilibrio di sistemi costituiti da più corpi rigidi, tecnica dello svincolamento).

Principio dei lavori virtuali - Principio delle reazioni vincolari. Vincoli ideali. Vari esempi di vincoli ideali. Teorema dei lavori virtuali. Sua formulazione nel caso di un sistema olonomo e conservativo ed anche in presenza di vincoli unilaterali.

Meccanica lagrangiana - Disuguaglianza variazionale della dinamica. Principio di D’Alembert. Equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange. Caso delle forze conservative (funzione lagrangiana). Integrali primi del moto in ambito lagrangiano. Cenno sulle equazioni di Lagrange nel caso di forze non conservative; esempio della resistenza viscosa e funzione di dissipazione.

Stabilità e piccole oscillazioni - Criterio di stabilità di Ljapunov. Definizione statica di stabilità e studio del potenziale nelle configurazioni di equilibrio.Teorema di stabilità di Lagrange-Dirichlet. Tecnica di linearizzazione delle equazioni del moto. Piccole oscillazioni di un sistema conservativo ad n gradi di libertà, frequenze caratteristiche di oscillazione. Coordinate normali.

 

Testi/Bibliografia

P.BISCARI, T. RUGGERI, G. SACCOMANDI, M. VIANELLO,  Meccanica razionale per l'ingegneria. Ed. Springer (III edizione-2016);

A. MURACCHINI, T. RUGGERI, L. SECCIA, Esercizi e temi d'esame di Meccanica razionale. Ed. Esculapio-Bologna.

Durante le lezioni saranno indicati siti web in cui è possibile reperire risorse utili allo svolgimento del corso e il docente distribuirà, on-line, materiale didattico integrativo.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali con spiegazione degli argomenti alla lavagna. Saltuariamente, nel caso di argomenti più complessi o che richiedano di presentare figure di tipo particolare, viene utilizzata la lavagna luminosa. Ad ogni lezione vengono indicate le pagine del testo di teoria consigliato  e/o  l'indirizzo  di siti web in cui è possibile approfondire gli argomenti svolti. Parte consistente del corso è dedicata alla risoluzione di esercizi e alla presentazione di esempi che permettano di acquisire la capacità di tradurre in termini matematici gli "aspetti fisici" dei problemi tecnici più comuni.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova d'esame è articolata in due fasi: una prova scritta (tempo assegnato per la soluzione: 2 ore) e una successiva prova orale. Si accede alla prova orale solo se risulta superata la prova scritta. Nel caso che lo studente non superi la prova scritta la può ripetere nella stessa sessione d'esame.

La prova scritta verte su un problema riguardante un sistema olonomo ad 1 o 2 gradi di libertà di cui, solitamente, si chiede di esaminare equilibrio, stabilità e proprietà generali del moto. La valutazione della prova scritta consiste in un giudizio (in ordine crescente: Gravemente insufficiente, Insufficiente, Quasi sufficiente, Sufficiente); si accede all'orale con ognuna di queste valutazioni ma il voto finale dell'esame è legato alla valutazione ottenuta nella prova scritta.

La prova orale consiste nel rispondere, in forma scritta, a due domande di teoria (tempo assegnato 30 minuti). L' elaborato viene poi brevemente discusso insieme al docente. Al termine di questa prova si decide la valutazione finale che, ovviamente, tiene conto sia del risultato della prova scritta che di quella orale.

Testi delle prove scritte più recenti si possono trovare in questa stesso sito nella sezione "materiale didattico" in coda al programma del corso.


Strumenti a supporto della didattica

Si forniscono indirizzi di siti internet in cui lo studente può approfondire alcuni degli argomenti svolti a lezione. Nella pagina web del docente (http://www.dm.unibo.it/~muracchi/) si possono trovare appunti delle lezioni, i testi delle prove scritte d'esame più recenti ed altri ausili didattici.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~muracchi/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Augusto Muracchini