58414 - ALGEBRA E GEOMETRIA

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2018/2019

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede gli elementi essenziali dell'algebra lineare e della geometria elementare.

Programma/Contenuti

 

- Introduzione ai sistemi lineari

  • Matrici.
  • Algoritmo di Gauss.
  • Soluzione di sistemi lineari parametrici e non.
  • R-spazi vettoriali: definizione ed esempi.
  • Lo spazio vettoriale Rn; lo spazio vettoriale delle matrici mxn ad entrate reali. Sottospazi vettoriali. Esempi e controesempi.
  • Lo spazio vettoriale R[x] dei polinomi in una variabile a coefficienti reali.
  • Combinazioni lineari e generatori di uno spazio vettoriale.
  • Spazi vettoriali finitamente generati: esempi e controesempi.
  • Intersezione, unione e somma di sottospazi.
  • La formula di Grassmann.
  • Dipendenza e indipendenza lineare.
  • Basi di uno spazio vettoriale. Esistenza di una base di uno spazio vettoriale finitamente generato.
  • Dimensione di uno spazio vettoriale.
  • Coordinate di un vettore rispetto ad una base.
  • Somma diretta di sottospazi vettoriali.
  • Applicazioni lineari tra spazi vettoriali: definizione, esempi e controesempi.
  • Costruzione di applicazioni lineari, condizioni di esistenza e/o unicita`.
  • Studio di una applicazione lineare: nucleo e immagine. Iniettivita` e suriettivita`.
  • Teorema delle dimensioni e sue conseguenze.
  • Controimmagine di un vettore mediante una applicazione lineare. Varieta` lineari.
  • Matrici associate ad una applicazione lineare.
  • Rango di una matrice.
  • Teorema di Rouche' Capelli.
  • Prodotto di matrici, composizione di applicazioni lineari.
  • Matrici invertibili e calcolo dell'inversa di una matrice.
  • Cambiamenti di base.
  • Matrici simili.
  • Determinante e sue proprieta`.
  • Autovalori e autovettori di un endomorfismo.
  • Autospazi e loro proprieta`.
  • Polinomio caratteristico.
  • Molteplicita` algebrica e molteplicita` geometrica di un autovalore e relazione fra di esse.
  • Matrici diagonalizzabili: definizione, esempi, controesempi.
  • Diagonalizzabilita` di una matrice su R: condizioni necessarie e sufficienti.
  • Studio della diagonalizzabilita` di una matrice dipendente da uno o piu parametri.
Elementi di geometria affine: sottovarieta` affini. Rette e piani in R3, loro rappresentazione parametrica e cartesiana. Il prodotto scalare in Rn. Basi ortogonali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. Decomposizione di Rn nella somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Rette ortogonali. Piani ortogonali. Retta ortogonale ad un piano. Distanza tra sottovarieta` affini.

Testi/Bibliografia

Verranno messe a disposizione dello studente delle note online.

I seguenti libri di testo possono comunque essere presi come riferimenti:

1) M. Barnabei, F. Bonetti: Sistemi lineari e Matrici (Pitagora Editrice, Bologna, 1992) ; Spazi Vettoriali e Trasformazioni Lineari (Pitagora Editrice, Bologna,1993)

2) M. Abate: Algebra Lineare ( McGraw-Hill, 2000).

3) P. Maroscia: Introduzione alla geometria e all'algebra lineare (Zanichelli, 2000)

4) M. Abate, C. de Fabritiis: Esercizi di Geometria (McGraw-Hill, 1999).

Metodi didattici

Il corso consiste di 60 ore di didattica frontale durante le quali gli argomenti verranno presentati attraverso esempi, controesempi e numerosi esercizi. Verra` spiegata agli studenti la soluzione di  esercizi di vari livelli di difficolta` e verranno loro proposti esercizi da risolvere autonomamente. La correzione di tali esercizi verra` fatta successivamente in classe. Verranno dedicate alcune ore alla discussione delle domande degli studenti: questi saranno invitati ad esprimere eventuali dubbi in classe e la risoluzione di tali dubbi sara` discussa collegialmente.

Verra` spiegata agli studenti la struttura di una dimostrazione attraverso alcuni teoremi di rilievo, seppure di contenuto elementare.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Solo chi ha superato la prova scritta puo` sostenere la prova orale. La prova scritta e` divisa in due parti. La prima parte contiene due affermazioni elementari sul programma svolto. Lo studente deve stabilire se tali affermazioni sono vere o fase e spiegare brevemente il perche'. La seconda parte del compito verra` corretta solo se la prima parte e` completamente esatta. La seconda parte del compito consiste di tre esercizi. La risoluzione del compito verra` resa disponibile online nella pagina web del docente.

Strumenti a supporto della didattica

Tutte le lezioni verranno svolte alla lavagna.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicoletta Cantarini

Consulta il sito web di Fabrizio Caselli