- Docente: Piero Plazzi
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/01
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea in Matematica (cod. 8010)
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso, lo studente acquisisce competenze di base riguardo alla formalizzazione del linguaggio matematico, con particolare rilievo alla distinzione tra livello sintattico e semantico. Sa usare le competenze acqusite per eseguire calcoli sintattici per la nozione di conseguenza logica al primo ordine.
Contenuti
Prerequisiti. Matematica a livello preuniversitario e conoscenza delle più comuni procedure dimostrative in matematica.
0. Introduzione: alcuni termini fondamentali. Logica
matematica, simbolica, formale; ragionamenti (formalmente)
corretti; sintassi, semantica; linguaggio oggetto,
metalinguaggio.
1 Calcolo degli enunciati. Enunciati e logica
proposizionale: connettivi, funzioni e tavole di verità.
Impostazione formale della sintassi (assiomi di Hilbert-Ackermann,
deduzione naturale) e della semantica proposizionale. Tautologie.
Forme normali e adeguatezza.
2.1 Calcolo dei predicati. Alfabeto, variabili, quantificazione; fbf, variabili libere o vincolate, enunciati. Semantica: interpretazioni, soddisfacibilità, verità, validità logica. Modelli.
2.2 Regole e derivazioni, teorie, assiomi, teoremi (assiomi di Hilbert-Ackermann, deduzione naturale). Effettività (cenni). Teorema del modello. Teoremi di correttezza e completezza (Gödel); compattezza e modelli non standard.
3. Due teorie fondamentali (accenni). 3.1 L'aritmetica formale (PA): confronto con gli assiomi originali di Peano. Ricorsività e cenno all'incompletezza di PA (primo teorema di Gödel).
3.2 La teoria intuitiva degli insiemi, i suoi paradossi e la
teoria formale di Zermelo-Fraenkel.
Testi/Bibliografia
Per le parti 1 e 2 (Logiche degli enunciati e dei predicati)
sono disponibili appunti delle lezioni nel sito AMScampus. Si
possono comunque studiare questi argomenti in:
G. LOLLI, Introduzione alla logica formale, Bologna Il Mulino
In inglese: H.-D. EBBINGHAUS, J. FLUM, W. THOMAS,
Mathematical Logic, Springer
Per alcuni approfondimenti si veda anche: E. BENCIVENGA, Il primo libro di logica-Introduzione ai metodi della logica contemporanea, Torino Bollati Boringhieri.
Per la parte 3 (PA e ZF) si possono consultare le dispense del
corso di Princìpi della Matematica (LM in Matematica) nel sito
AMScampus. Questi argomenti vengono trattati approfonditamente ma
con qualche variante in:
E. MENDELSON, Introduzione alla Logica Matematica, Torino Bollati Boringhieri
La teoria assiomatica degli insiemi è esposta in maniera
semplice ma efficacissima in P. R. HALMOS, Teoria elementare
degli insiemi, Milano Feltrinelli (titolo originale: Naïve
set theory: ma viene esposta non la teoria 'ingenua' ma quella
assiomatica, sia pure senza formalismi!). Purtroppo questo testo è
consultabile solo nelle biblioteche.
Metodi didattici
Le lezioni mirano a mettere in rilievo non soltanto i legami della Logica con i Fondamenti della Matematica, ma anche la sua rilevanza culturale autonoma.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
La verifica consiste in una prova orale: mediante un colloquio
basato su tre domande lo
studente dovrà dimostrare la capacità di padroneggiare e valutare
criticamente i concetti fondamentali del corso, anche risolvendo
semplici esercizi .
Strumenti a supporto della didattica
Lezioni alla lavagna
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Piero Plazzi