27993 - ANALISI MATEMATICA T-2

Conoscenze e abilità da conseguire

Affinamento e arricchimento degli strumenti matematici di base (serie, curve, vari tipi di integrale, equazioni differenziali) per la risoluzione di tipici problemi applicativi.

Contenuti

• Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:
  • Introduzione Elementi di topologia, spazi metrici e spazi normati. Funzioni da R^n in R^m (n,m=1,2,3). Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
  • Funzioni in più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni in più variabili a valori reali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Hessiano. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente.
  • Calcolo differenziale per funzioni in più variabili a valori vettoriali. Jacobiano. Composizione di funzioni: teorema dello Jacobiano della funzione composta.
• Applicazioni del calcolo differenziale:
  • Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Teorema di Sylvester. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie o sufficienti per funzioni C^2.
  • Varietà regolari in forma implicita Spazio normale e spazio tangente. Teorema del Dini e parametrizzazione locale di una varietà. Massimi e minimi vincolati. Teorema di Fermat per estremanti condizionati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
• Misura e integrazione per funzioni in più variabili Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio di Cavalieri. Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.
• Serie e successioni numeriche e di funzioni: Generalità sulle successioni e le serie numeriche: definizioni, criteri di convergenza. Generalità sulle successioni e le serie di funzioni: convergenza puntuale, assoluta, uniforme, criterio di Weierstrass. Serie di potenze in R e in C: lemma di Abel, raggio di convergenza, proprietà della somma di una serie di potenze, funzioni analitiche reali e complesse. Serie di Fourier: approssimazione di funzioni periodiche con series di funzioni trigonometriche.
• Curve in forma parametrica ed integrali curvilinei
  • Curve regolari. Curve regolari a tratti. Orientamento e curve orientate. Integrali curvilinei su curve orientate: lunghezza, integrale curvilineo di una funzione (massa, baricentro e momenti di inerzia di una curva).
  • Campi vettoriali e forme differenziali Forme differenziali e campi vettoriali. Integrale curvilineo di una forma differenziale e lavoro di un campo. Forme differenziali esatte e campi vettoriali conservativi. Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali. Potenziale di un campo vettoriale conservativo. Teoremi di classificazione dei campi vettoriali conservativi. Lemma di Poincaré

Testi/Bibliografia

Simonetta Abenda, Analisi Matematica, Ed. Esculapio (Bologna)

Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica, Ed. Esculapio (Bologna)

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami

L'esame si svolge in forma scritta e consta di due parti da sostenere nello stesso appello. L'esame è superato se lo studente è sufficiente in entrambe le parti.

E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami ad entrambe le parti usando le liste di iscrizione aperte su Almaesami.

E' obbligatorio presentarsi all'esame con un documento di riconoscimento con foto.

Il punteggio finale è dato dalla somma dei punteggi ottenuti nelle due parti (A+B) e viene pubblicato su Almaesami. Se lo studente totalizza più di 30 punti, su Almaesami viene inserito il voto finale 30/30 e lode

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare i voti validi.

Ulteriori informazioni sulle modalità dell'esame e sui punteggi dei singoli esercizi nonché la pubblicazione delle date degli appelli sono reperibili alle pagine web docente dei proff. Abenda e Grammatico.

Nelle pagine di Alma Campus sono altresì pubblicati alcuni testi tipo d'esame relative alla parte di Analisi Matematica.

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Parte A (2h 30 m). Lo studente svolge esercizi sotto forma di esercizi a risposta multipla e a risposta guidata di Analisi Matematica

Durante questa parte della prova lo studente può consultare esclusivamente i propri libri di testo e gli appunti di Analisi Matematica, mentre è proibito l'uso di qualsiasi dispositivo elettronico.

Il punteggio massimo di questa parte è 16. Lo studente che raggiunge la soglia di ammissione (indicativamente 6.1/16) è ammesso alla parte B.

Gli esercizi a risposta multipla valgono: +2 (risposta corretta), 0m (risposta non data) -0.5 (risposta errata)

Esercizio a risposta guidata: da 0 a 4.

Parte B (durata 1 ora). Lo studente può portare con sé solo la penna, svolge per esteso un esercizio del proprio compito ed espone due argomenti di teoria seguendo la traccia assegnata dalla docente. Il punteggio massimo di questa parte è 21.

Ogni quesito vale da -3 (risposta non data o fuori tema) a 7.

Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi ottenuti nelle due prove. I punteggi superiori a 30/30 saranno registrati come 30/30 e lode su Almaesami.

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare i voti validi.

Ulteriori informazioni sulle prove d'esame (compresi i punteggi dei singoli esercizi e il calendario delle prove d'esame) sono disponibili nel sito web docente: http://www.unibo.it/docenti/simonetta.abenda .

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

I testi tipo di alcune prove d'esame parte A sono disponibili su Alma Campus.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda

Consulta il sito web di Cataldo Grammatico