29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente conosce i concetti fondamentali e le principali proprietà dell'Algebra lineare (matrici, sistemi lineari, trasformazioni lineari, autovalori) e della Geometria analitica del piano e dello spazio e sa risolvere semplici esercizi su questi argomenti.

Contenuti

Programma dell' insegnamento di  

Geometria e Algebra

   ( prof. Flavio Bonetti)

(Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica)

Teoria degli insiemi

Prodottto cartesiano tra due insiemi.

Relazioni e Strutture algebriche

Definizione, relazione d' ordine (insieme parzialmente e totalmente ordinato, buon ordinamento), relazioni d' equivalenza (relazioni di equivalenza e partizioni di un insieme)

.Definizione di Gruppo, Anello, Corpo e Campo, spazi vettoriali (numeri razionali, numeri reali, numeri complessi, spazio vettoriale delle n-ple dei numeri reali e delle matrici), proprietà delle strutture e delle sottostrutture algebriche .

Matrici e sistemi di equazioni lineari

Definizione di sistema lineare e di sistema lineare omogeneo, matrici associate, forma matriciale di un sistema lineare, operazioni elementari su di un sistema lineare e operazioni  elementari su di una matrice, algoritmo di Gauss, matrice quadrata e trasposta, matrice triangolare superiore, inferiore e diagonale, determinante di una matrice quadrata, rango di una matrice ed inversa di una matrice.

Spazi vettoriali

Definizione di Rn, sottospazi e caratterizzazione di un sottospazio, combinazione lineare, spazio generato, insieme di generatori, lineare dipendenza e indipendenza, basi, teorema di scambio, equicardinalità delle basi, dimensione, completamento di una base, somma e somma diretta.

Trasformazioni lineari

Definizione di omomorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo, nucleo e immagine, nucleo ed iniettività, trasformazioni lineari e lineare dipendenza (indipendenza), matrici associate (isomorfismo) matrice di passaggio, composizione di omomorfismi e matrice associata, matrici ortogonali.

Autovalori e autovettori

Endomorfismi, auotovalori, autovettori , autospazi, prime proprietà, polinomio caratteristico, preblema della diagonalizzazione di un endomorfismo e di una matrice quadrata.

Prodotti scalari

Applicazioni bilineari, forme bilineari, prodotti interni (definiti e semidefiniti positivi e negativi), prodotti scalari,esempi, prodotto scalare canonico, forme quadratiche (metodo dei minori principali crescenti per la classificazione), matrici associate (isomorfismo),  basi ortogonali, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza di Minkowski, norme e distanze, basi ortonormali, algoritmo di Gauss-Lagrange, algoritmo di Gram-Schmidt.

Geometria del piano e dello spazio ordinario

Definizione di laterale, laterali e sistemi di equazioni lineari, parallelismo e ortogonalità retta-retta nel piano euclideo, parallelismo e ortogonalità retta-retta, retta-piano, piano-piano nelllo spazio euclideo, possibili configurazioni delle rette nel piano e delle rette e dei piani nello spazio. Coniche nel piano euclideo e quadriche nello spazio euclideo.

 

Testi/Bibliografia

Testi consigliati:

F.Bonetti-M.Barnabei, Sistemi lineari e matrici, Pitagora;

F.Bonetti-M.Barnabei, Spazi vettoriali e trasformazioni lineari , Pitagora;

F.Bonetti-M.Barnabei, Matrici simmetriche e forme quadratiche ,Pitagora;

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni tradizionali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- esporre con coerenza alcuni argomenti del corso, dando prova di aver compreso a fondo i concetti fondamentali e i meccanismi di deduzione;

- risolvere esercizi inerenti gli argomenti svolti.

L'esame consiste di una prova scritta ed un colloquio orale. Il voto finale tiene conto dei risultati conseguiti in entrambe le prove.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Flavio Bonetti