29690 - MECCANICA RAZIONALE T

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, e dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze fondamentali sulla modellizzazione fisico-matematica rigorosa dei sistemi meccanici partendo dalla meccanica newtoniana e giungendo allo schema lagrangiano-hamiltoniano della meccanica analitica. In particolare ha acquisito la capacità di costruire, confrontare ed utilizzare modelli matematici per sistemi meccanici con pochi gradi di libertà (quali punto materiale, corpo rigido, sistemi olonomi), di determinarne le proprietà di comportamento più rilevanti (sia in condizioni statiche che dinamiche) e di ricavarne corrette approssimazioni locali (linearizzazione). Al termine del corso, e dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze fondamentali sulla modellizzazione fisico-matematica rigorosa dei sistemi meccanici partendo dalla meccanica newtoniana e giungendo allo schema lagrangiano-hamiltoniano della meccanica analitica. In particolare ha acquisito la capacità di costruire, confrontare ed utilizzare modelli matematici per sistemi meccanici con pochi gradi di libertà (quali punto materiale, corpo rigido, sistemi olonomi), di determinarne le proprietà di comportamento più rilevanti (sia in condizioni statiche che dinamiche) e di ricavarne corrette approssimazioni locali (linearizzazione).

Contenuti

PREREQUISITI:

L'allievo che accede a questo insegnamento conosce il calcolo integrale e differenziale, le basi della Geometria Euclidea, l'Algebra lineare e la fenomenologia descritta in Fisica. Tali conoscenze sono acquisite superando gli esami di Analisi, Geometria e Fisica I.

Tutte le lezioni sono tenute in Italiano che deve essere pertanto compreso bene anche per poter utilizzare il materiale didattico suggerito dal Docente.

PROGRAMMA:

Richiami di calcolo vettoriale e matriciale
Vettori liberi - Componente cartesiana di un vettore - Prodotto di uno scalare per un vettore - Somma di vettori - Prodotto scalare, vettoriale e misto - Doppio prodotto vettoriale.

Vettori applicati - Risultante di un sistema di vettori - Momento polare, momento assiale - Asse centrale - Coppie - Opreazioni elementari -Riduzione di un sistema di vettori applicati - Sistemi piani di vettori - Sistemi di vettori paralleli .

Operatori matriciali – Matrici simmetriche e antisimmetriche - Matrici di rotazione e trasformazioni di similitudine – Autovalori ed autovettori - Matrici definite di segno.

Elementi di geometria differenziale delle curve – Vettori funzione - Versore tangente, normale principale, binormale – Curvatura, triedro di Frenet.

Cinematica del punto
Velocità, accelerazione e loro proprietà - Spostamenti elementari ed effettivi - Moti piani.

Cinematica dei sistemi rigidi
Moto rigido - Equazioni cartesiane di un moto rigido - Angoli di Eulero - Formule di Poisson - Velocità angolare - Legge di distribuzione delle velocità, delle accelerazioni e degli spostamenti elementari - Classificazione e proprietà caratteristiche dei moti rigidi - Atti di moto - Teorema di Mozzi.

Cinematica relativa
Teorema di addizione delle velocità - Teorema di derivazione relativa - Teorema di Coriolis – Teorema di addizione delle velocità angolari - Mutuo rotolamento di due superfici rigide - Traiettorie polari nei moti rigidi piani.

Cinematica dei sistemi vincolati
Vincoli e loro classificazione - Rappresentazione analitica – Sistemi olonomi - Spostamenti possibili e virtuali.

Geometria delle masse
Concetto di massa - Baricentro di un sistema particellare e continuo - Teoremi di ubicazione del baricentro - Definizione di momento d'inerzia - Teorema di Huygens-Steiner - Momento di inerzia rispetto ad assi concorrenti - Ellissoide e matrice d'inerzia - Giroscopi.


Cinematica delle masse
Quantità di moto - Momento della quantità di moto - Energia cinetica - Teorema del baricentro e teoremi di Koenig.

Forze, Lavoro ed Energia
Modelli e classficazione delle forze - Definizione di lavoro elementare ed effettivo - Lavoro lungo un cammino finito per forze generali e forze posizionali non conservative - Forze conservative – Potenziale ed energia potenziale - Sistemi di forze e lavoro di un sistema di forze - Lavoro virtuale nel caso di corpi rigidi e di sistemi olonomi.

Principi della meccanica
Principio di inerzia - Principio di proporzionalità tra forza e accelerazione - Principio di azione e reazione - Principio del parallelogramma delle forze - Postulato delle reazioni vincolari - Principio di relatività galileiana – Leggi di Keplero e principio di gravitazione universale.

Statica del punto
Equilibrio di un punto materiale - Equazioni di un punto vincolato su una superficie – Equilibrio rispetto ad un sistema non inerziale - Meccanica terrestre: peso.

Statica del corpo rigido

Equazioni cardinali della statica – Problema del corpo rigido pesante appoggiato su un piano orizzontale liscio – Cenni sull'equilibrio di travi e fili.

Statica dei sistemi olonomi

Principio delle reazioni vincolari - Principio dei lavori virtuali - Stabilità dell'equilibrio - Diagramma di biforcazione - Equilibrio di un sistema olonomo.

Dinamica del punto
Problemi analitici della dinamica del punto - Integrali primi delle equazioni di moto - Moto dei gravi - Oscillatori armonici, smorzati, forzati - Risonanza - Pendolo semplice - Punto mobile su una superficie prestabilita e su una traiettoria assegnata - Moti centrali – Dinamica rispetto ad un sistema non inerziale - Problema dei due corpi - Deviazione dei gravi verso oriente.

Dinamica dei corpi rigidi
Equazioni cardinali della dinamica – Equazioni di Eulero - Principio dell'effetto giroscopico - Moti alla Poinsot - Moto di un corpo rigido con un asse fisso ed equilibratura dinamica.

Elementi di meccanica analitica
Principio di d'Alembert – Genesi delle equazioni di Lagrange – Equazioni di Lagrange per sistemi conservativi - Piccole oscillazioni nell'intorno di una posizione di equilibrio stabile.

Testi/Bibliografia

Teoria

• P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale, Ed. Springer, Milano.

Appendici

• T. Ruggeri, Appunti di Meccanica Razionale: Richiami di Calcolo Vettoriale e Matriciale, Ed. Pitagora, Bologna.

Esercizi

• A. Muracchini, T. Ruggeri, L. Seccia, Esercizi e Temi d'Esame di Meccanica Razionale, Ed. Esculapio, Bologna.

Metodi didattici

Lezioni Frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso un esame finale, che accerta l’acquisizione delle conoscenze e delle abilitа attese tramite lo svolgimento di una prova scritta (2ore) ed una orale della durata di 50 min senza l'aiuto di appunti o libri.

La prova scritta consiste in un esercizio su sistema meccanico a 1 o 2 gradi di liberta' di cui si chiede di trovare le posizioni di equilibrio e la loro eventuale stabilitа, il calcolo delle reazioni vincolati e l'equazione del moto.

Se si supera la prova scritta si accede alla prova orale che consiste in 2 domande di teoria in cui lo studente risponde scrivendo quello che conosce in un foglio di carta (20 min). Subito dopo lo studente discute quanto scritto ed integra con il Docente le questioni poste (circa 20 min).

Il superamento dell’esame sarа' garantito agli studenti che dimostreranno padronanza e capacitа operativa in relazione ai concetti di base illustrati nell’insegnamento. Un punteggio piщ' elevato sarа attribuito agli studenti che dimostreranno di aver compreso bene ed essere capaci di utilizzare tutti i contenuti dell’insegnamento.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Tommaso Ruggeri