28622 - ANALISI MATEMATICA T-A

Conoscenze e abilità da conseguire

Aspetti metodologici e operativi di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale.

Contenuti

- Introduzione
   Cenni di teoria degli insiemi. Prodotto cartesiano. Relazioni. Insiemi ordinati.
   Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
   Composizione tra funzioni. Funzioni invertibili.
   Numeri naturali e assiomi di Peano. Numeri interi. Numeri razionali.
   Operazioni. Allineamento decimale dei numeri razionali.
   Numeri reali. Assioma di Dedekind. Completezza.
   Proprieta' di densita'. Cenni sulla cardinalita'.
   Maggioranti e minoranti. Massimi e minimi.
   Estremo superiore e inferiore.
   Cenni di topologia in R. Intervalli e intorni.
   Insiemi aperti e chiusi. Frontiera.
   Punti di accumulazione e isolati.
   Esempi ed esercizi.


- Successioni
   Definizioni e proprieta'.
   Limiti per successioni convergenti e divergenti.
   Sottosuccessioni. Unicita' del limite.
   Teorema della permanenza del segno.
   Teorema del confronto e dei due carabinieri.
   Successioni limitate. Proprieta' e teoremi.
   L'algebra dei limiti. Infiniti e infinitesimi. 
   Successioni monotone. Esistenza del limite per successioni monotone.
   Criterio del rapporto. Equivalenza asintotica e o-piccolo.
   Successioni definite per ricorrenza.
   Teorema di Bolzano-Weierstrass.
   Insiemi compatti. Teorema di Heine-Borel.
   Esempi ed esercizi.


- Funzioni reali di variabile reale
   Definizioni e proprieta'. Definizione di limite. Unicita' del limite.
   Limite destro e sinistro. Equivalenza fra le definizioni di limite per intorni e per successioni.
   L'algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno.
   Teorema del confronto e dei due carabinieri.
   Funzioni infinitesime e infinite. Limiti per funzioni monotone e funzioni limitate. 
   Equivalenza asintotica e o-piccolo. Funzioni continue. Definizioni ed esempi.
   Prime proprieta' delle funzioni continue. Composizione di funzioni continue.
   Limiti notevoli. Teorema di Weierstrass.
   Teorema di Bolzano. Teorema dei valori intermedi.
   Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor.
   Proprieta' elementari delle funzioni. Funzioni simmetriche. Funzioni periodiche.
   Asintoti. Operazioni sui grafici. Funzioni potenza.
   Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni trigonometriche e loro inverse.
   Funzioni iperboliche e loro inverse.
   Esempi ed esercizi.


- Calcolo differenziale
   Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione.
   Caratterizzazione delle funzioni derivabili.
   Relazione tra funzioni derivabili e funzioni continue.
   Derivate di somme, prodotti e quozienti di funzioni derivabili.
   Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa.
   Derivata delle funzioni elementari. Estremanti locali. Punti critici.
   Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy.
   Funzioni differenziabili su intervalli e monotonia.
   Teorema di Darboux. Teorema di de l'Hospital.
   Derivate di ordine superiore. Funzioni polinomiali e proprieta'.
   Formula di Taylor con resto di Peano.
   Formula di Taylor con resto di Lagrange.
   Polinomi di Taylor di funzioni elementari.
   Funzioni convesse. Teoremi e caratterizzazioni.
   Metodo per la determinazione di estremanti locali o flessi mediante derivate successive.
   Studio di grafici di funzioni.
   Esempi ed esercizi.


- Calcolo integrale
   Scomposizioni. Somme inferiori e superiori.
   Definizioni e prorieta'. Integrale inferiore e superiore.
   Integrabilita' secondo Riemann. Teorema di Riemann.
   Integrabilita' di funzioni limitate, monotone, continue.
   Proprieta' delle funzioni integrabili.
   Teorema della media integrale. Funzione integrale e primitive.
   Teorema fondamentale del calcolo integrale.
   Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
   Integrali generalizzati. Definizioni e proprieta'.
   Criteri del confronto. Convergenza assoluta. 
   Criteri di convergenza per funzioni a segno non costante.
   Esempi ed esercizi.

Testi/Bibliografia

- P.Marcellini, C.Sbordone. Elementi di  Analisi Matematica Uno,
   Liguori Editore.

- E.Giusti. Analisi matematica !,
   Bollati Boringhieri Editore.

- M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare,
   Zanichelli Editore.

- G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht, Elementi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.

- E.Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 1, Pitagora.

- P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica - I vol.,
   Liguori Editore

- E.Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica,
   Bollati Boringhieri Editore.

- S.Salsa, A.Squellati. Esercizi di Analisi matematica Vol. 1,
   Zanichelli Editore.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta preliminare e una prova orale.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~martino/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Vittorio Martino