28616 - ANALISI MATEMATICA T-B

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo Studente conosce gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

- Integrali generalizzati
   Definizioni e proprieta'.
   Criterio del confronto. Criteri del confronto asintotico.
   Assoluta integrabilita'.
   Esempi ed esercizi.

- Serie numeriche
   Definizioni e proprieta'.
   Criterio del confronto. Criteri del confronto asintotico.
   Criterio integrale. Criterio della radice. Criterio del rapporto.
   Assoluta convergenza. Criterio di Leibniz.
   Esempi ed esercizi.

- Numeri complessi
   Definizioni e proprieta'.
   Forma algebrica e forma trigonometrica.
   Formula di de Moivre. Radici n-esime.
   Formula di Eulero. Forma esponenziale.
   Esempi ed esercizi.

- Limiti e continuità per funzioni di più variabili
   Lo spazio vettoriale Euclideo R^n. Definizioni e proprieta'.
   Prodotto scalare, norma, distanza. Cenni di topologia.
   Limiti per successioni a valori vettoriali.
   Compattezza sequenziale. Teorema di Heine-Borel.
   Limiti per funzioni reali di piu' variabili. Limiti per funzioni vettoriali.
   Continuita'. Definizioni e proprieta'.
   Connessione per archi.
   Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
   Teorema dei valori intermedi. Teorema degli zeri. 
   Esempi ed esercizi.

- Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
   Derivabilita'. Definizioni ed esempi.
   Derivate parziali. Gradiente. Derivata direzionale.
   Differenziabilita'. Funzioni di classe C^1. Definizioni e proprieta'.
   Differenziabilita' per funzioni a valori vettoriali.
   Matrice Jacobiana.
   Insiemi Convessi. Teorema del valor medio.
   Funzioni di classe C^k.
   Matrice Hessiana. Lemma di Schwarz.
   Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Lagrange e Peano.
   Estremanti Locali. Punti critici. Teorema di Fermat.
   Forme quadratiche. Condizioni sufficienti per l'esistenza di estremanti locali.
   Ipersuperfici in R^n. Spazio tangente. Definizioni e proprieta'.
   Teorema di Dini (della funzione implicita).
   Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.
   Esempi ed esercizi.
 
- Equazioni differenziali
   Equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy.
   Teorema di esistenza e unicita' locale. Soluzioni prolungabili e massimali.
   Equazioni del primo ordine a variabili separabili.
   Equazioni differenziali lineari a coefficienti continui. Definizioni e proprieta'.
   Equazioni omogenee: spazio vettoriale delle soluzioni.
   Equazioni non omogenee: spazio affine delle soluzioni.
   Wronskiano. Equazioni lineari del primo ordine.
   Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
   Equazioni non omogenee: metodo di somiglianza.
   Metodo della variazione delle costanti.
   Esempi ed esercizi.

- Integrale mutliplo
   Integrale di Riemann. Misurabilita'. Definizioni ed esempi.
   Teorema della media integrale. Teoremi di riduzione.
   Cambiamenti di variabili. Teorema del cambiamento di variabile.
   Trasformazioni lineari.
   Coordinate polari. Coordinate ellittiche.
   Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche.
   Esempi ed esercizi

Testi/Bibliografia

- N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone. Elementi di  Analisi Matematica Due,
   Liguori Editore.

- E.Giusti. Analisi matematica 2,
   Bollati Boringhieri Editore.

- M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare,
   Zanichelli Editore.

- P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica - II vol.,
   Liguori Editore

- E.Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica,
   Bollati Boringhieri Editore.

- S.Salsa, A.Squellati. Esercizi di Analisi matematica Vol. 2: Calcolo infinitesimale,
   Zanichelli Editore.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta preliminare e una prova orale.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~martino/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Vittorio Martino