29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire i concetti di base dell'algebra lineare e la conoscenza dei più semplici procedimenti di calcolo che ne derivano; descriverne le prime applicazioni allo studio dei sistemi lineari ed alla geometria analitica del piano, dello spazio e delle equazioni differenziali lineari.

Contenuti

Il corso si articola in 30 lezioni da 2 ore, suddivise nelle 12 unità didattiche sotto descritte.

1. Numeri reali e complessi. Polinomi. Vettori nello spazio n-dimensionale.
2. Sistemi lineari e matrici (I): somma e moltiplicazione per scalare nello spazio euclideo. Equazioni lineari. Operazioni elementari sulle righe di un sistema di equazioni lineari. Algoritmo di Gauss. Matrice associata ad un sistema lineare. 
3. Sistemi lineari e matrici (II): definizione di matrice a scalini ridotta. Forma parametrica delle soluzioni di un sistema lineare.
4. Matrici: somma di matrici e moltiplicazione per scalare. Prodotto riga per colonna e prodotto di matrici. Potenze di matrici. Matrici invertibili. Algoritmo di Gauss e calcolo dell'inversa.
5. Spazi vettoriali: definizione e combinazioni lineari. Esempi: spazio euclideo, matrici, polinomi. Sottospazi vettoriali: definizione e proprietà. Somma e somma diretta di sottospazi vettoriali. 
6. Famiglie di vettori, famiglie libere e famiglie generatrici. Basi di uno sazio vettoriale. Dimensione e coordinate. 
7. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Legame tra applicazioni lineari e matrici. Immagine e nucleo. Teorema del rango. Iniettività e suriettività di applicazioni lineari.
8. Matrice di un'applicazione lineare in una base fissata. Matrice di cambio di base. 
9. Determinanti: definizione, proprietà e calcolo.
10. Autovalori ed autovettori di applicazioni lineari e matrici. Definizione di matrice diagonalizzabile. Spazi propri di autovalori. Autovalori distinti e somma diretta.
11. Diagonalizzabilità delle matrici simmetriche. Prodotti scalari.
12. Basi ortonormali.

 

Testi/Bibliografia

Libro di testo e materiale consigliato: 

• Rita Fioresi, Marta Morigi, Introduzione all'algebra lineare. Casa editrice Ambrosiana
• Francesco Bottacin, Algebra Lineare e Geometria. Società editrice Esculapio,

da integrare con gli appunti del corso.

Fogli di esercizi sono disponibili sulla pagina Virtuale del corso.

Metodi didattici

Il corso consiste di 60 ore di didattica frontale, durante le quali gli argomenti verranno presentati anche attraverso esempi, controesempi ed esercizi. Verrà spiegata agli studenti la soluzione di esercizi di vari livelli di difficoltà e verranno loro proposti esercizi da risolvere autonomamente. Verrà spiegata agli studenti la struttura di una dimostrazione attraverso alcuni teoremi di rilievo, seppure di contenuto elementare.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

E' consigliato (ma non obbligatorio):

• seguire con regolarità le lezioni,
• svolgere e consegnare gli esercizi proposti,
• svolgere moltissimi altri esercizi proposti dai libri di testo,
• usufruire del ricevimento per chiarire eventuali dubbi.

L'esame consiste in una prova scritta articolata in 2 parti. Nella prima parte lo studente dovrà rispondere a 4 domande semplici, valutate 2 punti ciascuna. Verranno valutati solo gli scritti in cui lo studente risponde correttamente ad almeno 3 domande. Nella seconda parte lo studente dovrà risolvere 4 o 5 esercizi articolati in diversi punti, che verteranno sui temi svolti durante il corso.

Infine è prevista una prova orale facoltativa riservata agli studenti che hanno ottenuto un voto di almeno 27 nella prova scritta. Il voto di chi sostiene la prova orale può sia aumentare che diminuire può rispetto allo scritto, anche drasticamente.

 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Marchese

Consulta il sito web di Marta Morigi