54777 - GEOMETRIA PROIETTIVA

Anno Accademico 2022/2023

  • Docente: Monica Idà
  • Crediti formativi: 6
  • SSD: MAT/03
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Moduli: Alessandro Gimigliano (Modulo 1) Monica Idà (Modulo 2) Antonella Grassi (Modulo 3)
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 1) Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 2) Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 3)
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea in Matematica (cod. 8010)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce i principali elementi della teoria degli spazi proiettivi. Sa comprendere la geometria affine come aspetto locale della geometria proiettiva e viceversa, la geometria proiettiva come sintesi dei fenomeni affini. Conosce gli elementi di base della teoria delle curve algebriche piane.

Contenuti

Cenni sulla prospettiva. Il "piano allargato" come piano a cui si aggiungono le direzioni delle rette. Spazi proiettivi: definizione, dimensione. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee rispetto a un riferimento; Il riferimento proiettivo standard su Pn(K). Sottospazi proiettivi: definizione, codimensione, equazioni cartesiane. Il sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme dello spazio, intersezione e somma di sottospazi proiettivi. Punti linearmente indipendenti e punti in posizione generale. Equazioni parametriche per un sottospazio proiettivo. Sottospazi proiettivi incidenti e sghembi. Formula di Grassmann proiettiva. Sottospazi proiettivi in posizione generale.

Morfismi e isomorfismi proiettivi, proiettività. Proiezione di centro un punto su un iperpiano. Il gruppo delle proiettività PGL(V); PGL(V) come gruppo quoziente. Caratterizzazione delle (n+2)-pla di punti in posizione generale. Equazioni di cambiamento di coodinate omogenee.

Completamento di uno spazio affine ad uno spazio proiettivo, carte affini.

Modelli geometrici per P^n(R), la sfera di Riemann come modello per P^1(C).

La dualità proiettiva; esempi di proposizioni duali, esempi di proposizioni autoduali.
Coniche e quadriche proiettive.
Asintoti di una curva del piano affine. Punti di flesso per una curva algebrica piana.

Scoppiamenti del piano affine. Scoppiamenti negli spazi affini e proiettivi. Introduzione alle risoluzioni di singolarità. Sistemi lineari; esempi. Varietà di Segre e varietà di Veronese.

La cubica irriducibile con un nodo: y^2=x^2+x^3 e la cubica irriducibile con una cuspide: y^2=x^3 sono curve razionali. Una cubica piana irriducibile singolare è proiettivamente equivalente alla cuspide o al nodo.

Ogni cubica liscia di P^2 è proiettivamente equivalente a una cubica di equazione: y^2=x(x-1)(x-a) con a diverso da 0 e da 1. La configurazione dei flessi di una cubica piana liscia. I possibili valori del birapporto di 4 punti distinti di una retta proiettiva e loro modulo. Il teorema di Salmon e il modulo di una cubica piana liscia; la classificazione delle cubiche non singolari del piano proiettivo complesso. La legge di gruppo su una cubica piana liscia, solo cenni per l'associatività. I tori complessi. Cenni sulle cubiche piane non singolari come superfici di Riemann: una cubica piana liscia è biolomorfa al toro complesso di opportuno reticolo e tale biolomorfia è anche un isomorfismo di gruppi additivi.

 

L'insegnamento partecipa al progetto di innovazione didattica dell'Ateneo.

I corsi Geometria proiettiva e Curve e superfici possono essere presi individualmente o insieme. I contenuti non si sovrappongono, piuttosto sono complementari fra loro; i syllabi saranno coordinati.

 

Testi/Bibliografia

E.Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri, Torino 1989

M.Reid: "Undergraduate Algebraic Geometry", Cambridge University Press 1988

Materiale pubblicato su Virtuale

 

Metodi didattici

Lezioni frontali con esercitazioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- esporre con coerenza alcuni argomenti del corso, dando prova di aver compreso a fondo i concetti fondamentali e i meccanismi di deduzione;

- risolvere esercizi inerenti gli argomenti svolti.

L'esame consiste di un colloquio orale.

Strumenti a supporto della didattica

Verranno messi in rete fogli di esercizi, che si aggiungeranno a quelli reperibili nei testi consigliati.

Inoltre su progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm

si possono trovare alcuni argomenti del corso e relativi esercizi interattivi.

Orario di ricevimento

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