B9048 - TOPOLOGIA COMBINATORIA

Course contents

MODULO 1 - Prof. Moci

Arrangiamenti di iperpiani. Poset delle intersezioni. Complementare di un arrangiamento: caso reale, complesso, finito. Arrangiamenti centrali e essenziali. Esempi: a. booleano, a. delle trecce.
Esempi di applicazioni: paradosso di Condorcet, teorema di impossibilità di Arrows.

Arrangiamenti grafici. Deletion-contraction per grafi e deletion-restriction per arrangiamenti. Polinomio cromatico di un grafo, polinomio caratteristico di un arrangiamento; loro relazioni di deletion-contraction. Il polinomio cromatico di un grafo è uguale al polinomio caratteristico dell’arrangiamento corrispondente. Metodo del campo finito. Esempio: l’arrangiamento delle trecce.

Polinomio dei flussi di un grafo. Dualita' di grafi planari. Matroidi: quattro definizioni (indipendenti, basi, rango, flats). Matroidi grafici e a matroidi realizzabili. Esempi. Deletion-contraction, dualità.

MODULO 2 - Prof. Pagaria

Richiami sulla coomologia singolare e sul suo cup product. Generatori della coomologia di un arrangiamento. Algebra di Orlik e Solomon di un arrangiamento: definizioni, esempi. Isomorfismo con la coomologia.


Richiami sui CW complessi. Complesso di Salvetti di un arrangiamento complessificato. Gruppo fondamentale di un arrangiamento. Esempio di Rybnikov. Cenno ai matroidi orientati.

Gruppo delle trecce. Generatori e relazioni. Gruppo delle trecce puro. Teorema: Il gruppo fondamentale dell’arrangiamento delle trecce è il gruppo delle trecce pure.

Due azioni del gruppo simmetrico: permutazione e permutazione coniugata. Rispettive rappresentazioni sulla coomologia dell’arrangiamento delle trecce. Calcolo di tali rappresentazioni per Br(2) e Br(3).

Teoria di Morse discreta, applicazioni agli arrangiamenti

Readings/Bibliography

TBA

Teaching methods

Lectures, exercises

Assessment methods

Oral exam

Teaching tools

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