Corso di Dottorato sull'Approccio Geometrico alla Teoria dei Sistemi e del Controllo - 2009
Dottorato di Ricerca in Automatica e Ricerca Operativa
Corso di introduzione alla teoria dei sistemi e all’approccio geometrico
Programma 2009
Teoria
1. Modelli nello spazio degli stati
Sistemi e modelli matematici
Notazione. Definizioni e proprietà generali dei sistemi. Classificazione dei modelli matematici. Modelli matematici nello spazio degli stati. Esempi di modelli di sistemi dinamici. Interconnessioni di sistemi dinamici (Appunti 1F-11F, [Rif. 1, pp. 1-10]).
La soluzione numerica delle equazioni differenziali.
Richiami sulle norme (Appunti 1A). Definizione di funzione lipschitziana. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del sistema non lineare non stazionario omogeneo. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del sistema lineare non stazionario omogeneo. Matrice di transizione dello stato del sistema lineare non stazionario omogeneo. Soluzione del sistema lineare non stazionario non omogeneo. Evoluzione dello stato ed evoluzione dell’uscita di un sistema dinamico lineare non stazionario (Appunti 2A-5A, [Rif. 1, pp. 10-16]). Matrice di transizione dello stato del sistema lineare stazionario omogeneo. Soluzione del sistema lineare stazionario non omogeneo. Evoluzione dello stato ed evoluzione dell’uscita di un sistema dinamico lineare stazionario a tempo continuo (Appunti 6A-7A, [Rif. 1, pp. 16-18]). Calcolo dell’evoluzione dello stato di un sistema dinamico lineare stazionario a tempo continuo: approssimazione del continuo con il discreto: uso di un esosistema (Appunti 8A-11A, [Rif. 1, pp. 18-22]).
Estensione ai sistemi a tempo discreto.
Matrice di transizione dello stato del sistema lineare non stazionario omogeneo alle differenze finite. Evoluzione dello stato ed evoluzione dell’uscita di un sistema dinamico lineare stazionario a tempo discreto (Appunti 12A-13A, [Rif. 1, pp. 22-24]). I sistemi a dati campionati. Equivalenza secondo la tenuta di ordine zero (Appunti 14A-15A, [Rif. 1, pp. 24-25]).
2. Proprietà dei modelli lineari stazionari
Stabilità.
Stato di equilibrio. Stabilità asintotica. Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica di un sistema dinamico lineare stazionario a tempo continuo. Autovalori, autovettori e forma di Jordan. L’esponenziale di matrice in termini finiti. Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica di un sistema dinamico lineare stazionario a tempo discreto. La potenza di matrice in termini finiti (Appunti 1C-6C, [Rif. 1, pp. 28-32 e pp. 35-38]).
Controllabilità e osservabilità.
Raggiungibilità dei sistemi lineari stazionari. Matrice di controllabilità. Insieme raggiungibile (Appunti 7C-8C, [Rif. 1, pp. 38-41]). Osservabilità dei sistemi lineari stazionari. Matrice di osservabilità. Insieme inosservabile (Appunti 9C-10C, [Rif. 1, pp. 41-43]). Sistema duale (Appunti 10C, [Rif. 1, p. 43]).
Sistemi equivalenti e realizzazioni
Sistemi equivalenti (internamente equivalenti). Proprietà: sistemi equivalenti presentano uguali proprietà di stabilità, controllabilità e osservabilità (Appunti 11C, [Rif. 1, pp. 44-46]). La scomposizione canonica di Kalman (Appunti 12C, [Rif. 1, pp. 46-48]).
3. I fondamenti classici dell’approccio geometrico
Strutture algebriche.
Spazi vettoriali, sottospazi, prodotto interno, vettori ortogonali, relazioni di ordine parziale, reticoli (Appunti 1B-3B, [Rif. 2, pp. 370-371]).
Algebra dei sottospazi.
Operazioni su sottospazi. Proprietà delle operazioni sui sottospazi (Appunti 4B, [Rif. 2, pp. 126-129]).
Sottospazi invarianti.
Definizione e caratterizzazione (condizione necessaria e sufficiente ) di sottospazio invariante (Appunti 5B, [Rif. 2, p. 129]). Sottospazi invarianti e cambiamenti di base: cambiamenti di base (o trasformazioni di similitudine); invarianza di sottospazi e cambiamenti di base; restrizione di una mappa lineare a un sottospazio invariante (Appunti 6B-7B, [Rif. 2, pp. 129-130]). Reticoli di sottospazi invarianti e relativi algoritmi: algoritmo per il minimo invariante in A contenente imB (enunciato e dimostrazione); algoritmo per il massimo invariante in A contenuto in kerC (enunciato e dimostrazione – per dualità) (Appunti 8B-9B, [Rif. 2, pp. 131-132]). Complementabilità di un sottospazio invariante: definizione e caratterizzazione (condizione necessaria e sufficiente) (Appunti 10B, [Rif. 2, pp. 133-134]). Sottospazi invarianti e traiettorie dello stato: il lemma fondamentale dell’approccio geometrico (Appunti 11B, [Rif. 2, pp. 134-136]). Stabilità interna ed esterna di un sottospazio invariante (Appunti 12B, [Rif. 2, pp. 136-138]). La scomposizione canonica di Kalman (Appunti 12C, [Rif. 2, pp. 143-144]). Retroazione dello stato, iniezione dell’uscita, retroazione dinamica delle misure (Appunti 13C, [Rif. 2, pp. 160-175]).
Invarianti controllati e condizionati.
Invariante controllato - Definizione. Invariante condizionato - Definizione. Somma di invarianti controllati. Intersezione di invarianti condizionati. Semireticolo superiore di invarianti controllati in (A,B) contenuti in kerE. Semireticolo inferiore di invarianti condizionati in (A,C) contenenti imH. Algoritmo per il minimo invariante condizionato in (A,C) contenente imH. Dualità fra il massimo invariante controllato in (A,B) contenuto in kerE e il minimo invariante condizionato in (A,C) contenente imH. Algoritmo per il massimo invariante controllato in (A,B) contenuto in kerE (Appunti 1D-2D, [Rif. 2, pp. 204-210]). Complemento ortogonale di un invariante controllato in (A,L). Complemento ortogonale di un invariante condizionato in (A,L). Teorema: invarianti controllati e traiettorie controllate (enunciato e dimostrazione) (Appunti 2D’, [Rif. 2, p. 207]). Invariante controllato (condizione necessaria e sufficiente). L’invarianza controllata è un concetto indipendente dalle coordinate (Appunti 3D, [Rif. 2, p. 207]). Invarianza controllata e invarianza per retroazione dello stato (Appunti 4D, [Rif. 2, pp. 208]). Invarianza condizionata e invarianza per iniezione dell’uscita (Appunti 5D, [Rif. 2, pp. 208]).
Invarianti controllati autolimitati e invarianti condizionati autonascosti.
Proprietà: invarianti controllati resi invarianti dalla stessa retroazione dello stato. Proprietà: invarianti condizionati resi invarianti dalla stessa iniezione dell’uscita (Appunti 6D, [Rif. 2, pp. 208])). Invariante controllato autolimitato (Definizione e caratterizzazione). Intersezione di invarianti controllati autolimitati. Reticolo di invarianti controllati autolimitati (Appunti 7D-8D, [Rif. 2, pp. 210-214]). Invariante condizionato autonascosto (Definizione e caratterizzazione). Somma di invarianti condizionati autonascosti. Reticolo di invarianti condizionati auto nascosti (Appunti9D, [Rif. 2, p. 215]). Stabilizzabilità interna ed esterna di un invariante controllato (Appunti 10D, [Rif. 2, pp. 217-220]). Il minimo invariante controllato in (A,B) internamente stabilizzabile contenuto in kerE e contenente imH. Basile e Marro’s conjecture (Appunti 11D-11D’, [Rif. 2, pp. 223-226]). Disaccoppiamento dei disturbi con stabilità con retroazione dello stato (Appunti 12D-12D’, [Rif. 2, pp. 223-230]). Disaccoppiamento di segnali misurabili. La routine hud.m del Geometric Approach Toolbox e un esempio numerico (Appunti 1G-5G, [Rif. 2, pp. 223-230], [Rif. 3]).
Esercitazioni
Breve Prontuario di Comandi Matlab
A.1 Vettori. A.2 Matrici e polinomi. A.3 Interazioni con la “Command Window”. A.4 Insiemi di celle. A.5 Logica binaria. A.6 Esecuzione condizionata di un blocco di istruzioni. ([Rif. 4, pp. 71-75]). A.7 Comandi Matlab relativi ai sistemi lineari stazionari ([Rif. 4, pp. 75-77]). A.8 Collegamenti di sistemi ([Rif. 4, pp. 78-80]).
Istruzioni Matlab per le operazioni sui sottospazi - Toolbox GA
Corso di Dottorato in Automatica e Ricerca Operativa – Esercitazione 1
Un impianto idroelettrico: esercizio 1 ed esercizio 2.
Corso di Dottorato in Automatica e Ricerca Operativa – Esercitazione 2
Istruzioni Matlab per le operazioni sui sottospazi (toolbox ga): esercizi 1, 2 e 3. Le interconnessioni dei sistemi lineari multivariabili: esercizi 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Corso di Dottorato in Automatica e Ricerca Operativa – Esercitazione 3
Esercizio 1: il pendolo inverso. Esercizio 2: doppio anello di retroazione con integratori.
Corso di Dottorato in Automatica e Ricerca Operativa – Esercitazione 4
Esercizio 1: regolazione di posizione del pendolo inverso. Esercizio 2: doppio anello di retroazione con regolatori PI.
Prove d’esame svolte
Prova di Esame del Dottorato in Automatica e Ricerca Operativa 2008 (12 novembre 2008)
Prova di Esame del Dottorato in Automatica e Ricerca Operativa 2008 (13 gennaio 2009)
Prova di Esame del Dottorato in Automatica e Ricerca Operativa 2009 (5 novembre 2009)
Riferimenti bibliografici
[1] G. Marro, “Modellistica e controllo nello spazio degli stati”, Dipartimento di Elettronica, Informatica e Sistemistica, Università di Bologna, Bologna, 2008.
[2] G. Basile and G. Marro, “Controlled and Conditioned Invariants in Linear System Theory”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1992.
[3] E. Zattoni, “Decoupling of measurable signals via self-bounded controlled invariant subspaces: minimal unassignable dynamics of feedforward units for prestabilized systems,” IEEE Transactions on Automatic Control , vol. 52, no. 1, pp. 140–143, January 2007 [DOI: 10.1109/TAC.2006.886499].
[4] G. Marro, “Breve prontuario di comandi Matlab”, Dipartimento di Elettronica, Informatica e Sistemistica, Università di Bologna, Bologna, 2008.
Letture consigliate
[5] W. M. Wonham, Linear Multivariable Control: A Geometric Approach, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 1985.
[6] H. Trentelman, A. Stoorvogel, and M. Hautus, Control theory for linear systems, ser. Communications and Control Engineering. Great Britain: Springer, 2001.
