- Combinatoria delle tabelle di Young
- Statistiche su sottoinsiemi del gruppo simmetrico
- Permutazioni a motivo escluso
- Polinomi euleriani
Mi sono interessata a problemi di enumerazione delle tabelle di
Young corrispondenti a partizioni di un intero in un numero
limitato di parti, introducendo una famiglia infinita di matrici,
ciascuna delle quali contiene i numeri di tabelle di Young di forme
opportune. Le proprietà ricorsive di tali matrici permettono di
ricavare ricorrenze e formule esplicite per i numeri di tabelle di
Young corrispondenti a partizioni di n in esattamente 2 e 3 parti.
Si sono poi ottenute formule esplicite e ricorsive per i numeri di
partizioni di n in 3 e 4 parti rispettivamente. Attraverso
l'analisi delle funzioni generatrici, si sono costruite biiezioni
tra insiemi di partizioni in un numero limitato di parti.
La distribuzione delle discese (o distribuzione Euleriana)
sull'insieme delle involuzioni su n oggetti è stata studiata in
modo approfondito in tempi recenti da numerosi autori, che hanno
esaminato le proprietà combinatorie del polinomio generatore I_n(x)
di tale sequenza. Per esempio, Gessel e Reutenauer hanno dimostrato
che i coefficienti di questo polinomio sono simmetrici (Counting
permutations with a given cycle structure and descent set, J.
Combin. Theory Ser. A, 13 (1972), 135-139), mentre Guo e Zeng hanno
provato che tale polinomio è unimodale ("The Eulerian distribution
on involutions is indeed unimodal", J. Combin. Theory Ser. A 113
(2006), no. 6, 1061-1071). Inoltre, Brenti ha congetturato che il
polinonio I_n(x) sia logaritmicamente concavo (tale congettura
contenuta nell'articolo di Dukes "Permutation statistics on
involutions", European J. Combin. 28 Issue 1 (2007),
186-198).
La mia recente attività di ricerca si inserisce in questa tematica
da un altro punto di vista. Lo strumento più importante è una
formula che esprime il numero i_{n,k} di involuzioni con k discese
in termini della successione a_{n,s} che conta le tabelle
semistandard con n caselle e s simboli. Questo approccio fornisce
un'ulteriore e più semplice dimostrazione della simmetria dei
coefficienti del polinomio I_n(x) e permette di confutare la
congettura di Brenti sulla concavità logaritmica di I_n(x).
Lo stesso approccio può essere applicato alla soluzione di problemi
enumerativi riguardanti opportuni sottoinsiemi dell'insieme delle
involuzioni: ad esempio, la distribuzione Euleriana sulle
involuzioni senza punti fissi e sulle involuzioni
centrosimmetriche, ovvero le involuzioni che corrispondono a
tabelle di Young standard fisse sotto l'azione della mappa di
Schützenberger. Più precisamente, questo approccio fornisce una
formula esplicita per il numero j_{2n,k} di involuzioni
centrosimmetriche su 2n oggetti con k discese.
Questi stessi strumenti sono stati usati anche per lo studio dei
numeri euleriani segnati sulle involuzioni, ed hanno permesso di
determinare una formula esplicita per questi numeri.
Negli ultimi anni ho intrapreso lo studio delle permutazioni a
motivo escluso, argomento introdotto da D.E. Knuth nel suo
fondamentale volume "The Art of Computer Programming" che, negli
ultimi anni, ha suscitato l'interesse di molti autori, tanto che la
bibliografia su questo tema conta ormai centinaia di lavori.
Lo studio ha fruttato quattro pubblicazioni e 2 preprint.
