Foto del docente

Giulia Spaletta

Professoressa associata confermata

Dipartimento di Scienze Statistiche "Paolo Fortunati"

Settore scientifico disciplinare: MAT/08 ANALISI NUMERICA

Temi di ricerca

Parole chiave: ricostruzione di immagini integrazione geometrica algebra al calcolatore bio-ingegneria dei tessuti approssimazione di dati

Algebra Lineare Numerica e Calcolo Parallelo
  • Solutori diretti, paralleli, per sistemi lineari sparsi strutturati
  • Solutori iterativi per problemi di programmazione lineare
  • Solutori iterativi, paralleli, per sistemi lineari sparsi, di grandi dimensioni, mal condizionati
  • Solutori iterativi per sistemi non lineari di grandi dimensioni, derivanti dalla simulazione di circuiti a microonde

Integrazione ed Approssimazione Numeriche e Calcolo Simbolico
  • Integrazione geometrica di equazioni differenziali ordinarie
  • Metodi di Runge-Kutta ai Differenziali Elementari
  • Analisi automatica della stabilita' di algoritmi
  • Approssimazione di dati e Modellizzazione geometrica, in Medicina ed in Astronomia


- Nell'ambito della integrazione geometrica numerica, tema di interesse iniziale e' stata l'integrazione di sistemi Hamiltoniani tramite metodi simplettici, derivati dalle cosiddette 'funzioni di generazione'; piu' in generale, l'attenzione e' rivolta alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie, tramite i metodi Runge--Kutta (RK).
L'ambiente di computer algebra in cui si affronta la risoluzione di tali sistemi di equazioni e' quello di Mathematica, all'interno del quale sono state realizzate molteplici funzionalita' per la analisi e la derivazione automatica dei solutori numerici, anche nel caso di sistemi stiff. Lo scopo e' stato ed e' quello di ottenere in modo efficiente la generazione automatica di metodi numerici di ordine elevato, che mantengano determinate caratteristiche di stabilita'.
La costruzione di un framework uniforme, modulare e gerarchico, facilita lo sviluppo di tecniche per la integrazione di equazioni e sistemi che hanno particolari proprieta', ad esempio la reversibilita' nel tempo. Tali metodi sono conosciuti come 'integratori geometrici'. Sono stati sviluppati, in particolare, metodi di proiezione ortogonale per sistemi differenziali, la cui soluzione conserva la ortonormalita', come pure solutori adatti a sistemi Hamiltoniani separabili.
Uno dei risultati piu' importanti ed originali, in questo ambito, e' stato raggiunto con la introduzione di una nuova classe di integratori numerici, che abbiamo denominato 'Elementary--Differential Runge--Kutta' (EDRK): essa costituisce una generalizzazione dei metodi di RK e viene costruita ed implementata in modo da mantenere determinate proprieta' geometriche del flusso.
I metodi di splitting e di composizione sono pure importanti nel campo della Integrazione Geometrica di equazioni differenziali, in quanto permettono di aumentare l'ordine dell'integratore di base e quindi di aumentare la accuratezza della approssimazione ottenuta, mantenendo allo stesso tempo le caratteristiche qualitative della soluzione. Impiegando le possibilita' numeriche, simboliche, grafiche e di parallelismo di Mathematica, sono stati sviluppati nuovi integratori, assai efficienti e che non erano noti in letteratura, che sfruttano, appunto, lo splitting e la composizione.
In questo tema restano coinvolti argomenti di ricerca di un minimo locale, dato che il problema affrontato puo' essere modellato come Ottimizzazione non lineare.

- I problemi affrontati nel campo della Approssimazione di dati sperimentali sono essenzialmente problemi di Imaging medico.
Si affronta, in particolare, il problema della ricostruzione, da un punto di vista numerico e modellistico, di una superficie matematica tridimensionale, a partire da immagini, scintigrafiche, ecografiche o microtomografiche, del profilo macroscopico di un viscere parenchimale. L'organo di interesse e' quello tiroideo umano adulto, di cui tale superficie deve costituire una buona approssimazione, sia qualitativamente che in termini volumetrici; l'obiettivo finale e' quello di ricreare lo schema vascolo/stromale (SSV) tiroideo, interno al solido ricostruito, sfruttando le informazioni racchiuse in qualche modo nella forma dell'organo stesso.
Viene indagata allora una modellazione di tipo frattale, in relazione alla osservazione che lo SSV tiroideo, come molte strutture vascolari dell'organismo umano, sia rappresentato piu' adeguatamente dalla geometria frattale piuttosto che da quella classica euclidea; a tale scopo vengono impiegate informazioni sulla distribuzione dei rami arteriosi sul profilo di ciascun lobo e dei loro calibri.
Oltre all'approccio frattale, di tipo probabilistico, il problema di ricostruzione dello SSV tiroideo verrà affrontato anche con metodi numerici, di carattere deterministico, che impiegano informazioni spaziali sulla vascolarizzazione stessa, quali quelle provenienti da immagini di micro tomografia computerizzata od ecografie tridimensionali.
E' stato sviluppato un software, composto di un nucleo elaborativo di funzioni matematiche e di visualizzazione, arricchito da una interfaccia grafica. Le routine numeriche in tale pacchetto sono state validate su un ampio insieme di dati, in particolare, su calchi in materiale sintetico dell'albero arterioso tiroideo.
I  risultati  piu' recenti di questa ricerca riguardano in particolare un metodo semi-automatico per la determinazione del contorno del lobo tiroideo da dati ecografici.
I risultati di ricostruzione dell'organo e della vascolarizzazione tiroidei,  inoltre, sono in corso di estensione ad altri organi e tessuti, quali ad esempio i tessuti ossei.