Algebra Lineare Numerica e Calcolo Parallelo
- Solutori diretti, paralleli, per sistemi lineari sparsi
strutturati
- Solutori iterativi per problemi di programmazione lineare
- Solutori iterativi, paralleli, per sistemi lineari sparsi, di
grandi dimensioni, mal condizionati
- Solutori iterativi per sistemi non lineari di grandi
dimensioni, derivanti dalla simulazione di circuiti a
microonde
Integrazione ed Approssimazione Numeriche e Calcolo Simbolico
- Integrazione geometrica di equazioni differenziali
ordinarie
- Metodi di Runge-Kutta ai Differenziali Elementari
- Analisi automatica della stabilita' di algoritmi
- Approssimazione di dati e Modellizzazione geometrica, in
Medicina ed in Astronomia
- Nell'ambito della integrazione geometrica numerica, tema di
interesse iniziale e' stata l'integrazione di sistemi Hamiltoniani
tramite metodi simplettici, derivati dalle cosiddette 'funzioni di
generazione'; piu' in generale, l'attenzione e' rivolta alla
soluzione di equazioni differenziali ordinarie, tramite i metodi
Runge--Kutta (RK).
L'ambiente di computer algebra in cui si affronta la risoluzione
di tali sistemi di equazioni e' quello di Mathematica, all'interno
del quale sono state realizzate molteplici funzionalita' per la
analisi e la derivazione automatica dei solutori numerici, anche
nel caso di sistemi stiff. Lo scopo e' stato ed e' quello di
ottenere in modo efficiente la generazione automatica di metodi
numerici di ordine elevato, che mantengano determinate
caratteristiche di stabilita'.
La costruzione di un framework uniforme, modulare e gerarchico,
facilita lo sviluppo di tecniche per la integrazione di equazioni e
sistemi che hanno particolari proprieta', ad esempio la
reversibilita' nel tempo. Tali metodi sono conosciuti come
'integratori geometrici'. Sono stati sviluppati, in particolare,
metodi di proiezione ortogonale per sistemi differenziali, la cui
soluzione conserva la ortonormalita', come pure solutori adatti a
sistemi Hamiltoniani separabili.
Uno dei risultati piu' importanti ed originali, in questo ambito,
e' stato raggiunto con la introduzione di una nuova classe di
integratori numerici, che abbiamo denominato
'Elementary--Differential Runge--Kutta' (EDRK): essa costituisce
una generalizzazione dei metodi di RK e viene costruita ed
implementata in modo da mantenere determinate proprieta'
geometriche del flusso.
I metodi di splitting e di composizione sono pure importanti nel
campo della Integrazione Geometrica di equazioni differenziali, in
quanto permettono di aumentare l'ordine dell'integratore di base e
quindi di aumentare la accuratezza della approssimazione ottenuta,
mantenendo allo stesso tempo le caratteristiche qualitative della
soluzione. Impiegando le possibilita' numeriche, simboliche,
grafiche e di parallelismo di Mathematica, sono stati sviluppati
nuovi integratori, assai efficienti e che non erano noti in
letteratura, che sfruttano, appunto, lo splitting e la
composizione.
In questo tema restano coinvolti argomenti di ricerca di un minimo
locale, dato che il problema affrontato puo' essere modellato come
Ottimizzazione non lineare.
- I problemi affrontati nel campo della Approssimazione di dati
sperimentali sono essenzialmente problemi di Imaging medico.
Si affronta, in particolare, il problema della ricostruzione, da un
punto di vista numerico e modellistico, di una superficie
matematica tridimensionale, a partire da immagini, scintigrafiche,
ecografiche o microtomografiche, del profilo macroscopico di un
viscere parenchimale. L'organo di interesse e' quello tiroideo
umano adulto, di cui tale superficie deve costituire una buona
approssimazione, sia qualitativamente che in termini volumetrici;
l'obiettivo finale e' quello di ricreare lo schema vascolo/stromale
(SSV) tiroideo, interno al solido ricostruito, sfruttando le
informazioni racchiuse in qualche modo nella forma dell'organo
stesso.
Viene indagata allora una modellazione di tipo frattale, in
relazione alla osservazione che lo SSV tiroideo, come molte
strutture vascolari dell'organismo umano, sia rappresentato piu'
adeguatamente dalla geometria frattale piuttosto che da quella
classica euclidea; a tale scopo vengono impiegate informazioni
sulla distribuzione dei rami arteriosi sul profilo di ciascun lobo
e dei loro calibri.
Oltre all'approccio frattale, di tipo probabilistico, il problema
di ricostruzione dello SSV tiroideo verrà affrontato anche con
metodi numerici, di carattere deterministico, che impiegano
informazioni spaziali sulla vascolarizzazione stessa, quali quelle
provenienti da immagini di micro tomografia computerizzata od
ecografie tridimensionali.
E' stato sviluppato un software, composto di un nucleo elaborativo
di funzioni matematiche e di visualizzazione, arricchito da una
interfaccia grafica. Le routine numeriche in tale pacchetto sono
state validate su un ampio insieme di dati, in particolare, su
calchi in materiale sintetico dell'albero arterioso tiroideo.
I risultati piu' recenti di questa ricerca riguardano
in particolare un metodo semi-automatico per la determinazione del
contorno del lobo tiroideo da dati ecografici.
I risultati di ricostruzione dell'organo e della vascolarizzazione
tiroidei, inoltre, sono in corso di estensione ad altri
organi e tessuti, quali ad esempio i tessuti ossei.
