Annamaria Montanari

I miei principali interessi di ricerca riguardano lo studio di una classe di equazioni totalmente nonlineari ed ellittiche degeneri, le equazioni di curvatura di Levi, che intervengono nella caratterizzazione dei domini di olomorfia nella teoria delle funzioni olomorfe di più variabili complesse. Le equazioni di Levi-Monge-Ampère ( equazioni LMA)  possono essere viste come la controparte pseudoconvessa delle usuali equazioni di curvatura reali (equazione di curvatura media, equazione di curvatura di Gauss , etc..) e dell'equazione di Monge-Ampère reale [ML]. 
Queste equazioni sono NON ELLITTICHE
in ogni punto e  subellittiche se calcolate sulla classe delle  funzioni pseudoconvesse. Questa cruciale proprietà ha permesso in passato di ottenere 
diversi risultati. Il nostro scopo è ora quello di provare risultati ottimali di regolarità per le soluzioni viscose del problema stazionario, e di studiare poi il flusso per curvatura di Levi per ottenere nuove informazioni su problemi di simmetria.

Sia M un'ipersuperficie reale in C^{n+1}, bordo di un dominio D. 
La forma di Levi in un punto p di M è una forma Hermitiana sullo spazio tangente complesso. Poichè questo spazio ha dimensione complessa n, la forma di Levi ha n autovalori reali. Data una funzione simmetrica generalizzata ( nel senso di
Caffarelli-Nirenberg-Spruck [CaNiSp]) è naturale definire  S- curvatura di Levi di M in p, la funzione S calcolata sugli autovalori della forma di Levi. Se M è il grafico di una funzione u, e richiediamo che 
M abbia
S-curvatura assegnata, otteniamo un'equazione alle derivate parziali del secondo ordine che è totalmente nonlineare e NON ellittica in ogni punto.
In seguito chiameremo operatore di
Levi-Monge-Ampère (operatore LMA)
la parte del secondo ordine di queste equazioni. La classe di euazioni LMA è stata implicitamente introdotta da Bedford e Gaveau [BeGa] e da Tomassini [To], per lo studio di domini pseudoconvesssi e degli inviluppi di olomorfia  in C^{n+1}. La classe LMA è stata poi precisamente formalizzata da Montanari 
e Lanconelli in [MoLa]. In [MoLa] si dimostra che le naturali linearizzazioni degli operatori LMA sono  NON ellittiche in ogni punto. Diventano invece subellittiche, se calcolate su funzioni S-pseudoconvesse. Infatti, possono essere scritte come "somme di quadrati" di campi vettoriali non lineari  ( cioè operatori differenziali del primo ordine). Sull'insieme delle funzioni  S-pseudoconvesse le direzioni dei campi vettoriali sono le uniche direzioni di ellitticità per gli operatori LMA. La direzione mancante di ellitticità può essere recuperata considerando i commutatori dei campi. Questa è una proprietà cruciale, sulla quale si basano la maggior parte dei resultati in letteratura sugli operatori LMA: riassumiamo ora lo stato dell'arte su questo argomento elencando i risultati ottenuti. (a) Il problema di  Dirichlet per gli operatori LMA è stato studiato da Da Lio e Montanari in [DaMo], dove si dimostra esistenza e unicità di una soluzione viscosa Lipschitziana
sotto ipotesi ottimali. Il problema della regolarità ottimale di queste soluzioni è quasi completamente aperto. Solo nel caso di dimensione più bassa un risultato di  Citti-Lanconelli-Montanari [CiLaMo] fornisce una soluzione completa al problema . Infatti, in [CLM] si dimostra che 
tutte le soluzioni viscose
Lipschitziane dell'equazione di Levi sono
C^{infty}, se la curvatura assegnata è regolare e liscia. Il problema, in dimensione più alta è molto difficile e non può essere affrontato utilizzando le tecniche note per le equazioni ellittiche totalmente nonlineari. (b) Principi del confronto forte,  in ogni dimensione [MoLa]. (c) Simmetria sferica per domini di Reinhardt  limitati
con curvatura di Levi costante [HoLa]. In 
[MaMo2] si dimostrano  alcune formule integrali e disuguaglianze isoperimetriche per domini compatti in termini delle curvature di Levi, dalle quali seguono risultati di simmetria sferica  per domini stellati con  curvature di Levi costanti. In [MaMo3] utilizzando una tecnica di geometria differenziale, si dimostra che se la direzione caratteristica è una geodetica allora è un'autovettore della seconda forma fondamentale ed il relativo autovalore è costante. Come applicazione si ottiene un risultato di simmetria, di tipo Alexandrov, per ipersuperfici compatte con curvatura media di Levi costante. In [MoMo] si dimostra poi che ogni superficie di Levi ombelicale  (cioè con tutti gli  autovalori della forma di  Levi uguali e costanti) sono sfere nel caso compatto e cilindri nel caso non limitato. (d) Stime del gradiente interne per l'equazione di curvatura media di Levi [MaMo1]. Ci apettiamo che la regolarità ottimale di queste soluzioni possa essere studiata con le tecniche introdotte in [CiLaMo] per l'equazione di Levi 
in dimensione più bassa.
Ci proponiamo pertanto di studiare le proprietà di regolarità per le soluzioni  di equazioni alle derivate parziali totalmente nonlineari modellate sulle equazioni di Levi. Ci proponiamo poi di studiare il moto per curvatura di Levi per ottenere nuove informazioni sulle proprietà di simmetria. Ci proponiamo di studiare alcune nozioni di curvatura che sono associate alla pseudoconvessità e alla forma di Levi come le classiche curvature di Gauss e di curvatura media sono associate alla convessità e alla matrice Hessiana reale. In particolare, data una funzione non negativa k, l'equazione di Levi Monge Ampère per il grafico di u è det L = k(x,u)(1+|Du|^2)^ {(n+1)/2}, dove L è la forma di Levi del grafico di u e Du è il gradiente Euclideo di u. Più in generale, considereremo funzioni simmetriche elementari negli autovalori della forma di Levi L. Queste equazioni di curvatura contengono informazioni  sul contorno geometrico di un ipersuperficie chiusa. L'operatore di curvatura conduce a definire una nuova classe di equazioni alle derivate parziali del secondo ordine totalmente nonlineari la cui forma caratteristica, quando calcolata sulle funzioni pseudoconvesse, è semidefinita positiva, con nucleo di dimensione uno. Pertanto, le equazioni sono non ellittiche in ogni punto, ma hanno la seguente proprietà: la direzione di ellitticità mancante può essere recuperata con opportune relazioni di commutazione. Utilizzeremo questa proprietà per studiare esistenza unicità e regolarità delle soluzioni viscose del problema di Dirichlet per grafici con assegnate curvature di Levi. Per attaccare il problema della regolarità locale delle soluzioni viscose lipschitziane  il PRIMO ANNO ci proponiamo di studiare la teoria della regolarità per  tre problemi vicini:  [1.] Equazione di Levi Monge Ampère in coordinate cilindriche. In questo caso possiamo dimostrare che l'equazione di assegnata curvatura di Levi è un'equazione quasilineare ellittica degenere in due variabili, il cui prototipo è l'operatore di Grushin.  [2.] L'equazione di Monge Ampère subellittica, rispetto a campi invarianti a sinistra.  [3.]  Funzioni simmetriche elementari negli autovalori di matrici reali del tipo   A(x,Du)D^2uA^T(x,Du), dove  D^2u è la matrice  Hessiana reale, Du è il gradiente Euclideo di u,  e le cui soluzioni classiche sono buoni candidati per approssimare le soluzioni viscose  delle precedenti equazioni alle derivate parziali. Il problema dell'esistenza ed unicità delle soluzioni viscose per il problema di Dirichlet verrà studiato in collaborazione con Francesca Da Lio, Università di Padova. Per attaccare il problema della regolarità di queste equazioni ci proponiamo di utilizzare la teoria della regolarità sviluppata in [CaCa] e in [CaNiSp]. Ci proponiamo poi di studiare il problema di diffusione. Innanzitutto ci proponiamo di studiare il moto per la traccia della forma di Levi. Un bellissimo lavoro di Huisken e Klingerberg [HK] afferma che se l'ipersuperficie iniziale è strettamente pseudoconvessa e C^{2,alpha}, allora per tempi piccoli l'evoluzione secondo la traccia della forma di Levi è C^{2,\alpha}. Inoltre, per [Mo] l'evoluzione è C^{infty} per tempi piccoli. Ci proponiamo di studiare cosa succede alle parti Levi piatte dell'ipersuperficie iniziale facendole evolvere per curvatura di Levi. Ci  proponiamo inoltre di studiare esistenza, unicità e regolarità del moto per funzioni simmetriche elementari della forma di Levi e di utilizzare questi risultati per ottenere stime isoperimetriche per il problema iniziale e proprietà di caratterizzazione per ipersuperfici chiuse con qualche curvatura di Levi costante.

Riferimenti bibliografici
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equations. AMS , Providence, RI, 1995.
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(2002) 87-128
[DaMo] F. Da Lio, A. Montanari: Existence and Uniqueness of Lipschitz 
Continuous Graphs, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linèaire 23 no. 1 
(2006) , 1-28.

[HK] G. Huisken; W. Klingenberg. Flow of real hypersurfaces by the trace of the Levi form. Math. Res. Lett. 6 (1999), no. 5-6, 645--661.  [HoLa] J.Hounie.E. Lanconelli, An Alexander type Theorem for Reinhardt 
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[MaMo1] V. Martino, A. Montanari: Local Lipschitz continuity of graphs 
with prescribed Levi urature, NoDEA, Nonlinear Differential Equations and Applications, 14, 2007,377-390 [MaMo2]. V. Martino, A. Montanari: Integral formulas for a class of 
curvature PDE's and applications., Forum Mathematicum, Issue 22:2 (2010), 255—267 [MaMo3] V. Martino, A. Montanari, On the characteristic direction of real hypersurfaces in CN+1 and a symmetry result, to appear in Advances in Geometry [Mo] A. Montanari, Real hypersurfaces evolving by Levi curvature: smooth regularity of solutions to the parabolic Levi equation,   Comm. Partial Differential Equations 26 (2001), no. 9-10, 1633--1664
[MoLa] A. Montanari, E. Lanconelli, Pseudoconvex Fully Nonlinear 
Partiall Differential Operators. J.Diff. Eq. 202(2004) 306-333.
 [MoMo] R. Monti D.Morbidelli., J. Reine Angew. Math. 603, (2007), 113-131.

 [To] G. Tomassini, Ann. Mat. Pura Appl.(1988)