Andrea Pascucci

Equazioni differenziali stocastiche ed equazioni ipoellittiche. Processi stocastici diffusivi e con salti. Applicazioni alla finanza.

La mia attività di ricerca si svolge nell'ambito dello studio delle equazioni differenziali stocastiche per processi diffusivi e con salto, delle equazioni deterministiche alle derivate parziali del second'ordine con forma caratteristica semidefinita positiva e delle applicazioni alla finanza matematica. In particolare mi sono occupato dello studio dell'esistenza, regolarità e della stima delle soluzioni classiche e deboli di equazioni tipo Kolmogorov-Fokker-Plank, lineari e non-lineari. Tali equazioni intervengono nello studio di problemi fisici con memoria e, in economia, nello studio di derivati finanziari con dipendenza dal passato (per esempio, opzioni Asiatiche, modelli a volatilità stocastica e alcuni modelli per il mercato dei tassi). Ho studiato più in generale anche equazioni ipoellittiche su gruppi di Lie con tecniche di teoria del controllo per ottenere stime della soluzione fondamentale e della densità di transizione del processo stocastico sottostante. Recentemente mi sono occupato dell'approssimazione asintotica per tempi piccoli della densità di transizione di processi multidimensionali e con salto. Tipicamente i problemi lineari sono legati allo studio dei derivati finanziari di tipo Europeo, mentre problemi non-lineari con frontiera libera o con ostacolo (e la controparte probabilistica, i problemi di arresto ottimo) appaiono nella valutazione e copertura di derivati di tipo Americano, con esercizio anticipato. Per entrambi ho ottenuto risultati di esistenza e regolarità ottimale delle soluzioni. In alcuni lavori ho anche analizzato la risoluzione numerica mediante metodi di perturbazione e approssimazione analitica.