Metodi di Approssimazione e Calcolo Parallelo:
- Metodi
numerici scalari e paralleli per la ricostruzione di superfici a
partire da dati scattered e da nuvole di punti
Problemi inversi:
- Regolarizzazione con funzionali di regolarizzazione di tipo
L1.
- Calcolo automatico del parametro di regolarizzazione per
problemi di regolarizzazione di tipo L1.
Elaborazione di immagini
- Funzioni wavelet e
Multiwavelet
- Metodi per il denoising di
immagini
- Interpolazione e miglioramento
della risoluzione di immagini
- Ricostruzione di immagini
da acquisizioni altamente incomplete.
- Elaborazione di immagini
mediche.
Metodi di Approssimazione e Calcolo
Parallelo:
La ricostruzione di funzioni multivariate da dati irregolarmente
distribuiti è stato affrontato con successo mediante l'utilizzo
locale di funzioni base radiali. Questo approccio ha permesso,
infatti, di superare gli inconvenienti di stabilità numerica che
presentano, quando il numero dei dati è elevato, i metodi globali
di ricostruzione basati sull'utilizzo di funzioni base
radiali, ma, allo stesso tempo, ne ha mantenuto le buone proprietà
di approssimazione. Questo studio teorico ha portato perciò
alla realizzazione di un algoritmo efficiente, sia dal punto di
vista scalare che parallelo, per la ricostruzione di grandi
quantità di dati multivariati. Nel medesimo contesto e'
stato poi realizzato un algoritmo, sempre di tipo
locale, per la ricostruzione di superfici a partire da
nuvole di punti. Questo genere di dati è tipicamente fornito da
acquisizioni di superfici mediante scanner 3D. Poiché questi dati
spesso presentano zone dove vi e' una mancanza di informazione,
l'algoritmo proposto, oltre a ricostruire la superficie laddove vi
e' informazione, riempie progressivamente i buchi espandendo
l'informazione delle zone vicine.Allo scopo di ottenere una
ricostruzione shape-preserving per la ricostruzione di oggetti da
rilevazioni mediante scanner 3D, sono state poi introdotte e
studiare le funzioni base radiali anisotropiche, cioè relative ad
una norma diversa da quella Euclidea e invece legate ad una matrice
simmetrica definita positiva costruita appositamente dipendente dai
dati. Mediante l'utilizzo locale di queste funzioni si è così
ottenuto un efficiente algoritmo di ricostruzione di dati 3D la cui
principale caratteristica e'quella di mantenere al massimo la forma
e le particolarità della superficie modellata, come spigoli,
regioni piatte e zone appuntite.
Problemi Inversi
E' ben noto che la soluzione numerica di problemi inversi è un
problema difficile in quanto molto sensibile alle
perturbazioni sia introdotte dalla necessità di utilizzare
l'aritmetica finita, sia dovute ad errori sui dati. Per poter
ottenere una soluzione accettabile e' necessario utilizzare metodi
di regolarizzazione. In questo contesto sono stati considerati
metodi di regolarizzazione che utilizzano la norma 1 sia della
rappresentazione in una opportuna base della soluzione cercata, sia
del suo gradiente (Total Variation) e sono stati sviluppati metodi
di splitting per la soluzione dei corrispondenti problemi di
minimo. Inoltre e' stato messo a punto un algoritmo altamente
efficiente che, affrontando il problema di minimo con una tecnica
di penalizzazione e sfruttando il suddetto contesto di splitting,
calcola automaticamente il valore ottimale per il parametro di
regolarizzazione.
Elaborazione di immagini
Funzioni wavelet e multiwavelet – Metodi per il denoising di
immagini
Le funzioni wavelet e multiwavelet sono uno strumento molto
potente per l'elaborazione di immagini digitali. In particolare,
sono state utilizzate con successo per la soluzione di problemi di
denoising. In tale ambito sono stati proposti nuovi algoritmi
di wavelet thresholding che pesano diversamente i coefficienti
wavelet a seconda che siano relativi a dettagli importanti
dell'immagine, o che invece siano solo relativi alla perturbazione.
Più in particolare, e' stato considerato un approccio in cui
l'immagine ripulita e' ottenuta minimizzando un funzionale che e'
la somma di un termine di fedelta' ai dati e un termine che impone
un vincolo di regolarita' sulla soluzione. Quest'ultimo e' stato
definito come somma di potenziali, che risultano essere funzioni di
qualche derivata dell'immagine. Considerando particolari famiglie
di funzioni wavelet diadiche, e' stato proposto l'uso di nuove
funzioni potenziali che permettono, durante il processo di
denoising, di preservare e ricostruire importanti caratteristiche
dell'immagine come, ad esempio, contorni e regioni regolari. Questi
metodi sono stati applicati al denoising di immagini reali
ottenendo ottimi risultati.
Aumento della risoluzione e zoom di immagini
L'aumento della risoluzione a partire da un'unica immagine e' un
problema di difficile soluzione che puo' essere affrontato sia con
metodi di interpolazione sia risolvendo con opportune tecniche il
problema sottodeterminato corrispondente. Il primo approccio e'
stato realizzato utilizzando funzioni base radiali opportunamente
deformate per seguire l'andamento degli edge dell'immagine,
ottenendo risultati estremamente competitivi con i migliori metodi
della letteratura. Per quanto riguarda invece il secondo approccio
e' in fase di studio il possibile ricorso alla nuova
teoria del Compressed Sensing per ottenere una soluzione stabile
del corrispondente problema inverso sottodeterminato.
Ricostruzione di immagini da acquisizioni altamente
incomplete- Elaborazioni di immagini mediche
Il problema di ricostruire un segnale o un'immagine da un
insieme incompleto di misure è un problema di rilevante importanza
in numerosi campi applicativi che spaziano dalla correzione degli
errori di trasmissione, all'elaborazione di immagini biomediche.
Per queste ultime, infatti, l'acquisizione avviene
frequentemente nel dominio delle frequenze e, per ragioni di
tempo, solo una parte del contenuto in frequenza
dell'immagine può essere acquisito. Nell'ambito di una nuova
strategia di ricostruzione nota come Compressed
Sensing, per la soluzione del suddetto problema è stato
proposto un nuovo metodo, basato sulla minimizzazione di un
funzionale convesso, che permette di ricostruire esattamente un
segnale sparso partendo da un insieme di misure molto inferiore a
quello dato della teoria di campionamento tradizionale. Gli
algoritmi che risolvono il problema di minimo risultano però
particolarmente onerosi per un problema di dimensioni reali.
Si sono perciò studiati nuovi algoritmi che, pur mantenendo lo
stesso livello di efficienza nella ricostruzione, risultino
computazionalmente meno pesanti. Essi si basano sulla strategia del
"forward-backward splitting" per la risoluzione del problema di
minimizzazione e sono stati sviluppati in un contesto iterativo che
permette di accelerare al massimo la ricerca del minimo. Gli
algoritmi così ottenuti sono estremamente efficienti e riescono,
partendo da dati sotto-campionati nel dominio di Fourier, a
ricostruire in pochi secondi sia immagini 2D che volumi di
immagini. Sono inoltre in fase di studio altre possibili
applicazioni della teoria del Compressed Sensing a problemi
reali di grande interesse.
Sempre nell'ambito della Teoria del Compressed Sensing, si
sta attualmente studiando la possibilità di sfruttare la struttura
presente nella sparsità dei dati per ottenere una buona
ricostruzione partendo da una quantità di dati dell'ordine del
limite inferiore teorico per la ricostruzione.
