Lo studio del centro ζ(n) dell'algebra inviluppante U(gl(n)) dell'algebra di Lie lineare generale gl(n, C), e lo studio dell'algebra Λ∗ (n) dei polinomi simmetrici shiftati hanno nobili e origini e motivazioni piuttosto indipendenti. Il tema degli elementi centrali in U(gl(n)) è uno standard nella teoria generale delle algebre di Lie, vedi ad es. [18]. È antica e attuale, poiché figlia della celebre identità Capelli (vedi ad es. [11], [14], [21], [22], [36], [41], [42]), si riferisce alle sue moderne generalizzazioni e applicazioni (vedi ad esempio [1], [24], [25], [29], [30], [31], [32], [40]) così come alla teoria degli yangiani (vedi, ad esempio, [27], [28]). Capelli bitableaux [S|T] e le loro varianti (come Young-Capelli bitableaux e double Young-Capelli bitableaux ) si sono rivelate rilevanti nello studio dell'algebra inviluppante U(gl(n)) = U(gl(n ), C) dell'algebra lineare generale di Lie e del suo centro ζ(n). Nello specifico, il metodo superalgebrico delle variabili virtuali (si veda ad es. [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10]) ha permesso di esprimere notevoli classi di elementi in U(gl(n)), ovvero – la classe di Capelli bitableaux [S|T] ∈ U(gl(n)) – la classe di Young-Capelli bitableaux [S| |T|] ∈ U(gl(n)) – la classe dei doppi bitableaux di Young-Capelli [ |S| | |T| ] ∈ U(gl(n)) come le immagini - rispetto all'epimorfismo di devirtualizzazione di Capelli equivariante aggiunto Ad_gl(n) - di espressioni semplici in una superalgebra inviluppante U(gl(m_0|m_1 + n)).
Capelli (determinantal) bitableaux sono generalizzazioni del famoso elemento determinante di colonna in U(gl(n)) introdotto da Capelli nel 1887 [11] (vedi ad es. [9]). I bitableaux di Young-Capelli sono stati introdotti dai presenti autori diversi anni fa [5], [6], [7] e possono essere considerati come generalizzazioni degli elementi determinanti della colonna Capelli in U(gl(n)) così come degli elementi di Young simmetrizzatori della teoria classica della rappresentazione dei gruppi simmetrici (si veda ad es. [42]). I doppi bitableaux di Young-Capelli giocano un ruolo cruciale nello studio del centro ζ(n) dell'algebra inviluppante U(gl(n)) ([8], [10]).
In parole povere, il bitableau di Young-Capelli [S| |T| ] si ottiene aggiungendo una simmetrizzazione di colonna al Capelli bitableau [S|T] e risulta essere una combinazione lineare di Capelli bitableaux (si veda, ad es., [10]). Il doppio bitableau Young-Capelli [ |S| | |T| ] si ottiene aggiungendo un'ulteriore simmetrizzazione di riga al bitableau di Young-Capelli [S| |T| ] [10] risulta essere una combinazione lineare di Young-Capelli bitableaux (vedi, es. [10]) e, quindi, è a sua volta una combinazione lineare di Capelli bitableaux.
Capelli bitableaux sono le preimmagini - rispetto al lineare di Koszul U(gl(n))- isomorfismo equivariante K dall'algebra inviluppante U(gl(n)) all'algebra polinomiale C[M_{n,n}] = Sym( gl(n)) ([26], [7], [9]) - del classico bitableaux determinantale (vedi, ad esempio, [19], [17], [16], [20], [4]). Quindi, sono governati dalle leggi di raddrizzamento e l'insieme dei Capelli bitableaux standard è una base di U(gl(n)).
L'insieme dei bitableaux standard di Young-Capelli è un'altra base rilevante di U(gl(n)) i cui elementi agiscono in modo ortogonale non degenere sull'insieme dei bitableaux standard simmetrizzati a destra (la base di Gordan-Capelli di C[M_{n,n}]) e questo fatto porta a esplicite scomposizioni complete del semisemplice U(gl(n))-modulo C[M¬_{n,n}] (si veda ad es. [4], [5]).
Le combinazioni lineari dei doppi bitableaux di Young-Capelli
(1) S_λ(n) = 1 H(λ) \volte S [ |S| | |S| ] ∈ U(gl(n)), H(λ) lo hook coefficient di λ,
dove la somma è estesa a tutti i tableaux (rigorosamente) crescenti di riga S sulla forma/partizione coniugata di λ sono elementi centrali di U(gl(n)).
Abbiamo chiamato gli elementi S_λ(n) gli elementi di Schur.
Gli elementi di Schur S_λ(n) sono le preimmagini - rispetto all'isomorfismo di Harish-Chandra - degli elementi della base dei polinomi di Schur spostati
S^∗_λ|n
dell'algebra Λ∗(n) dei polinomi simmetrici shiftati [38], [33].
Quindi, gli elementi di Schur sono gli stessi [10] degli immananti quantistici ([38], [31], [32], [33]), presentati per la prima volta da Okounkov come tracce di matrici di fusione ([31], [32] ) e, recentemente, descritte dai presenti autori come combinazioni lineari (a coefficienti espliciti) di immananti Capelli “diagonali” [8]. La presentazione (1) degli elementi/immananti quantistici di Schur non implica i caratteri irriducibili dei gruppi simmetrici. Inoltre, si presta meglio allo studio degli autovalori su gl(n)−moduli irriducibili e della dualità nell'algebra ζ(n), nonché allo studio del limite n → ∞, tramite la decomposizione di Olshanski ( vedi, Olshanski [34], [35] e Molev [27], pp. 928 ss.)
Prenderemo in considerazione una classe speciale di Capelli bitableaux, ovvero la classe di Capelli-Deruyts bitableaux.
Questi elementi sono Capelli bitableaux della forma K_λ = [Der∗ _λ |Der_λ] ∈ U(gl(n)),
dove λ = (λ_1 ≥ λ_2 ≥ · · · ≥ λ_p) è una partizione con λ1 ≤ n, e
– Der_λ è il tableau di Deruyts di forma λ, cioè il tableau di Young di forma λ:
E
– Der∗ _λ è il tableau inverso di Deruyts di forma λ, cioè il tableau di Young di forma λ.
Capelli-Deruyts bitableaux nascono, in modo naturale, come generalizzazioni a forme arbitrarie
λ = (λ_1 ≥ λ_2 ≥ · · · ≥ λ_p) dei noti elementi determinanti della colonna Capelli
H(n)_ n ∈ U(gl(n)),
introdotto da Alfredo Capelli [11] nelle celebri identità che portano il suo nome (cfr. ad es. [11], [14], [21], [22], [36], [41], [42], [1] , [24], [25], [29], [30], [31], [32], [40]).
Capelli-Deruyts bitableaux K¬_p n di forma rettangolare λ = n p = ( p volte n, n, n, · · · , n) sono di particolare interesse poiché sono elementi centrali nell'algebra avvolgente U(gl(n)) .
I problemi principali che studieremo sono i seguenti:
- Dato un vettore di peso massimo gl(n, C), v_µ di peso µ = (µ_1 ≥ µ_2 ≥ . . . ≥ µ_n), con µ_i ∈ N per ogni i = 1, 2, . . . , n, v_µ è un autovettore dell'azione del bitableau K_λ di Capelli-Deruyts. Trovare una forma esplicita per gli autovalori.
- E' possibile espandere il bitableau di Capelli-Deruyts K_λ ∈ U(gl(n)) come un polinomio, a coefficienti espliciti, nei generatori di Capelli H_k^ (j) dei centri delle algebre inviluppanti U(gl(k) ), K = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , K?
- Studio di ulteriori proprietà/applicazioni dei Capelli-Deruyts bitableaux.
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