Parole chiave:
Termodinamica Estesa e teoria delle miscele
Propagazione non lineare
Sistemi iperbolici dissipativi
Elettrodinamica non lineare di Born-Infeld
Biomatematica
Da molti anni la mia attività di ricerca riguarda la propagazione
non lineare ed i modelli della termodinamica estesa. Recentemente
molti argomenti di studio hanno avuto un denominatore comune, in
quanto sono riconducibili alla propagazione in sistemi iperbolici
dissipativi. Così, ad esempio, grande attenzione è rivolta alla
buona posizione, all'analisi qualitativa ed al comportamento
asintotico delle soluzioni di sistemi di leggi di bilancio di tipo
iperbolico in presenza di dissipazione. E' stata rielaborata la
teoria delle miscele di fluidi assumendo come base teorica i
principi della termodinamica estesa e sono stati studiati modelli a
multitemperatura di miscele di fluidi di Eulero, restano però molte
questioni aperte. Tra le linee di ricerca vanno anche menzionate lo
studio dell'elettrodinamica non-lineare di Born-Infeld e modelli di
biomatematica che presentano equazioni con ritardo. I metodi di
indagine impiegati sono sia analitico-qualitativi sia numerici.
Il programma di ricerca e' rivolto alla soluzione di difficili
problemi che sono, in parte, tuttora aperti. In particolare, gli
argomenti su cui si focalizzerà l'attività si possono ricondurre, a
grandi linee, ai seguenti: 1) Problemi di Riemann e di Riemann con
struttura per sistemi iperbolici in presenza di dissipazione e
teorie a nido; 2) Studio, confronto e validazione di modelli
descritti da sistemi di equazioni di tipo iperbolico con
particolare attenzione alla Termodinamica Estesa dei gas rarefatti
e la miscele di fluidi; 3) Problemi di Propagazione non Lineare con
applicazioni all'ellettrodinamica non lineare di Born-Infeld 4)
Problemi di Biomatematica. In dettaglio, l'attività che si intende
affrontare in ognuno dei precedenti settori è articolata come
segue. La questione relativa al comportamento asintotico delle
soluzioni per teorie a nido di sistemi simmetrici ed iperbolici
riveste una notevole importanza, sia teorica che applicativa. E'
noto, infatti, che i modelli della Termodinamica Estesa presentano
queste peculiarita' attraverso la teoria dei sottosistemi. Sul
problema della gerarchia di equazioni e sulla questione relativa al
comportamento asintotico di sistemi simmetrici ed iperbolici sono
aperti numerosi ed interessanti problemi che verranno affrontati
sia a livello numerico sia a livello analitico. Particolare
attenzione verrà inoltre rivolta al problema di Riemann che come è
noto è un problema aperto nel caso di leggi di bilancio. Studi
numerici portano ad indicare una congettura sul comportamento
asintotico di tale problema. Si intende poi proseguire nello studio
delle miscele di fluidi anche usando un approccio di tipo
variazionale. Particolare attenzione sarà data al confronto tra i
modelli di miscela con una o multitemperature dei suoi costituenti.
In particolare si intende studiare il comportamento della miscela
per tempi grandi sia mediante un'analisi qualitativa sia mediante
delle simulazioni numeriche. Un'altra applicazione della
Termodinamica Estesa che si intende analizzare e' quella legata ai
mezzi granulari. Per quanto riguarda i problemi di propagazione non
lineare si vuole confrontare i risultati previsti dalla teoria di
Born-Infeld in elettrodinamica non lineare con quelli ottenuti da
una Lagrangiana piu' generale che ha in comune con Born-Infeld che
le onde sono tutte linearmente degeneri. Infine, continuando
ricerche recenti, saranno poi investigati modelli di biomatematica
che presentano equazioni differenziali con ritardo per lo studio
dei meccanismi collegati alle infezioni da virus HIV. In tutti
questi campi lo scrivente intende continuare la sua collaborazione
con diversi illustri ricercatori stranieri oltre che con il Gruppo
locale di cui è coordinatore.