Teoria matematica della percolazione. Teoria dei campi aleatori.
Teoria dei processi stocastici. Passeggiate aleatorie in ambiente aleatorio.
Nell'ultimo periodo mi sono occupato di modelli di
percolazione, in particolare la percolazione di Bernoulli sui
legami e sui siti di un reticolo e il modello FK di cluster
aleatorio. In un lavoro iniziale in collaborazione con D. Ioffe si
è studiato il comportamento asintotico delle probabilità di
connessione per la percolazione di Bernoulli sotto al punto
critico, dimostrando in particolare il comportamento di Ornstein
Zernike che era stato congetturato dai fisici Ornstein e Zernike
per diversi sistemi ed era stato dimostrato in un precedente mio
lavoro in collaborazione con J. Chayes e L. Chayes solo nelle
direzioni degli assi del reticolo. In lavori successivi in
collaborazione con D. Ioffe e Y. Velenik questi risultati sono
stati estesi alle funzioni di correlazioni per il modelli di campi
aleatotori dipendenti (modello di Ising) e le funzioni di
connessione di modelli di percolazione dipendente (modello FK di
cluster aleatorio). In un lavoro in collaborazione con M.
Gianfelice apparso Probability Theory and Related Fields si
usano idee e metodi dei lavori precedenti per studiare il
comportamento asintotico della probabilità di connessioni triple
per la percolazione di Bernoulli subcritica. Inoltre in
collaborazione con D. Ioffe e Lauder abbiamo studiato un problema
relativo al comportamento asintotico delle probabilità di
connessione finite supercritiche per la percolazione di Bernoulli
bidimensionale. Tutti i lavori precedenti sono basati su
appropriati risultati probabilistici: teoremi di rinnovamento
multidiensionali, teoremi del limite locale e teoremi di grandi
deviazioni. In collaborazione con M. Gianfelice in due lavori ho dimostrato il comportamento di Ornstein-Zernike per le funzioni di connessione finite della percolazione di Bernoulli e FK in tre o più dimensioni quando il parametro p è vicino a 1..
In collaborazione con Dimitri Petritis dell'Università di Rennes ho studiato le proprietà di ricorrenza di passeggiate aleatorie su un grafo aleatorio diretto bidimensionale. In particolare abbiamo dimostrato la transienza quasi sicura che contrasta la ricorrenza del caso deterministico corrispondente. Inoltre abbiamo dimostrato la transizione da ricorrenza a transienza per un modello periodico con perturbazioni stocastiche decadenti a potenza.
