PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE AGLI AUTOVALORI
Studiamo un problema di ottimizzazione agli autovalori del quart'ordine, governato dall'operatore biarmonico, soggetto a condizioni al bordo di Dirichlet o di Navier. Nel caso bidimensionale, tale problema ha un'interpretazione fisica nella meccanica dei continui per le piastre elastiche: costruire una piastra di forma e masse prescritte, con materiali aventi densità diverse, in modo da minimizzare la frequenza principale della piastra stessa. Dimostriamo l'esistenza di configurazioni ottimali e loro proprietà qualitative, quali la regolarità e la simmetria. Le questioni di simmetria in questo assetto sono complicate sia dalla mancanza di un principio del massimo generale per equazioni biarmoniche sia dal fatto che gli spazi di Sobolev naturali in qui si ambientano questi problemi non sono invarianti per riarrangiamenti simmetrici. Nel caso di condizioni al bordo di Navier, è possibile ridurre l'equazione del quart'ordine ad un sistema ellittico del second'ordine, per il quale si ereditano i principi di confronto e del massimo che, unitamente ad una tecnica di tipo moving planes, consente di dimostrare che alcune simmetrie del dominio vengono preservate dalla configurazione ottimale. Se invece si studia il problema con condizioni al bordo di Dirichlet, la situazione è in generale più delicata. In questo caso, è possibile dimostrare risultati di simmetria grazie alla combinazione della tecnica di polarizzazione -che consente di evitare riarrangiamenti simmetrici- con le proprietà della funzione di Green dell'operatore biarmonico con condizioni di Dirichlet, di cui si conosce la rappresentazione esplicita.
PROBLEMI QUASILINEARI SUPERCRITICI
Studiamo dei problemi quasilineari, governati dal p-laplaciano, in domini radiali di R^n, con condizioni al bordo di Neumann. Questi problemi presentano una nonlinearità possibilmente supercritica nel senso delle immersioni di Sobolev. Nel caso p>2, superiamo la mancanza di compattezza lavorando nel cono delle funzioni radiali, non negative e non decrescenti, dove proviamo delle stime a priori sulle soluzioni e dimostriamo l'esistenza di una soluzione non costante con tecniche variazionali. Se 1<p<2, il problema è più delicato rispetto al caso p>2, in quanto il funzionale dell'energia associato è meno regolare. Più recentemente, abbiamo affrontato lo studio di tali problemi anche con tecniche diverse, come il metodo di shooting per le EDO, che permette di ottenere esistenza e molteplicità di soluzioni non costanti anche nel caso 1<p<2.
PROBLEMI GOVERNATI DA OPERATORI NON OMOGENEI
Studiamo le proprietà dello spettro variazionale di due operatori (detti a crescita non-standard) nonlineari e non omogenei: il p(x)-laplaciano e un operatore del tipo somma (non autonoma) di un p-laplaciano e di un q-laplaciano. Energie associate a questo tipo di operatori si ritrovano nei modelli per i materiali fortemente anisotropi. Per entrambi gli operatori studiamo la stabilità dello spettro variazionale, utilizzando la Gamma-convergenza di opportuni funzionali, e una legge di tipo Weyl per la crescita asintotica degli autovalori.
Studiamo anche proprietà qualitative di soluzioni di una classe di problemi governati da operatori del tipo somma di diversi 2m-laplaciani. Questi problemi sono approssimazioni dell'equazione di Born-Infeld nella teoria dell'elettromagnetismo nonlineare.
PROBLEMI DI KIRCHHOFF
Studiamo dei problemi di tipo Kirchhoff in domini limitati di R^n, governati dall'operatore poliarmonico e soggetti a condizioni omogenee di Dirichlet al bordo. Questi problemi sono non locali a causa della presenza della cosiddetta funzione di Kirchhoff (una funzione della norma di u) che moltiplica l'operatore differenziale di ordine più alto. Inoltre, essi presentano un termine di smorzamento nonlineare e un termine di sorgente di forza esterna nonlineare e sottocritico. Nel caso in cui la forza esterna sia preponderante sullo smorzamento, dimostriamo un risultato di non esistenza di soluzioni globali in tempo e una stima a priori del tempo di vita delle soluzioni massimali. Per problemi fortemente smorzati (in cui è presente un termine aggiuntivo di smorzamento interno), mostriamo che le soluzioni esplodono all'infinito. Studiamo anche la versione stazionaria di tali problemi di Kirchhoff. In questo caso dimostriamo l'esistenza e la molteplicità di soluzioni deboli con metodi variazionali, come il teorema del passo montano simmetrico e un teorema di tre punti critici di Arcoya e Carmona. Trattiamo, con le stesse tecniche, analoghi problemi governati da operatori di tipo p(x)-laplaciano.
