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Fiorella Sgallari

Professoressa ordinaria

Dipartimento di Matematica

Settore scientifico disciplinare: MAT/08 ANALISI NUMERICA

Temi di ricerca

Algebra Lineare Numerica e calcolo parallelo:

            Metodi iterativi per sistemi lineari di grandi dimensioni

Problemi inversi ed Elaborazioni di Immagini:

            Metodi di regolarizzazione per problemi malcondizionati di grandi dimensioni

            Modelli e Metodi basati su Equazioni Differenziali a Derivate Parziali  per  l'elaborazioni di immagini e sequenze di immagini

            Segmentazione di Immagini

            Interpolazione e Zooming di Immagini

            Eliminazione di sfocamento da immagini

            Elaborazione di Immagini Biomediche

Modelli e Metodi Numerici per Problemi di Ingegneria

 



Il problema di elaborazione di immagini o di sequenze di immagini bidimensionali (2D) o tridimensionali (3D) puo' essere affrontato con successo utilizzando modelli di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE).

In molti casi, la ricostruzione dell'immagine dai dati e' un problema mal posto: la conoscenza del modello di formazione dell'immagine non e' sufficiente per determinare una soluzione accurata.         
E' necessario regolarizzare il problema, cioe' introdurre condizioni a priori sulla soluzione. Una efficiente regolarizzazione è quella che preserva i contorni, pur riducendo il rumore ("edge preserving regularization").  Esiste una stretta connessione fra questo tipo di regolarizzazione e gli schemi di diffusione retti da equazioni PDE .

Le PDE nell'elaborazione di immagini sono utilizzate dai primi anni 80. Osservando che la funzione di Gauss e' una soluzione fondamentale dell'equazione lineare del calore (diffusione), e' possibile sostituire la classica operazione di convoluzione di un'immagine con una funzione gaussiana con la soluzione della equazione lineare del calore con condizioni iniziali date dalla stessa immagine. Poiche' il filtro lineare gaussiano sfuoca i contorni delle forme contenute nell'immagine, il modello lineare non e' il piu' efficiente ed e' sostituito da modelli di diffusione non lineari.
Per le caratteristiche di evoluzione del processo che e' descritto dalle equazioni di diffusione, l'applicazione di una PDE ad una data immagine si puo' pensare come inserita nel cosiddetto spazio di scala (scale-space). Nel caso di PDE non lineari si parla di spazio di scala non lineare. L'analisi multiscala dell'immagine associa ad una data immagine u_0(x) una famiglia u(t,x) di immagini semplificate dipendenti da un parametro t in [0,T], il cosiddetto parametro di scala. Se questa famiglia soddisfa alcune ipotesi di base, allora u(t,x) puo' essere rappresentata come l'unica soluzione di viscosita' di una PDE di secondo ordine parabolica (degenere).         

Questo risultato teorico ha una importante conseguenza pratica. Le equazioni paraboliche hanno una proprieta' di smooth, percio' sono un mezzo naturale per filtrare rimuovendo particolari o strutture spurie dall'immagine, come per esempio il rumore. Inoltre, il filtro puo' essere di tipo "image oriented", cioe' tale da rispettare i contorni senza sfuocarli. Oppure, può riconoscere il movimento di una struttura in un'immagine, come per esempio in una sequenza, e di conseguenza permette di rispettare la coerenza del moto in immagini acquisite ad istanti di tempo successivi.

Attualmente sono oggetto di ricerca modelli 3D a PDEs  per l'eliminazione del rumore e la segmentazioni di immagini con particolari strutture tubulari o eventualemnte con parti nascoste o mancanti, come nel caso strutture venose o di sequenze cardiache.

In questi casi si puo' avere una forte non linearita' nelle equazioni paraboliche su cui si basa il modello, rendendo il problema interssante non solo dal punto di vista della applicazione ma anche da un punto di vista matematico e numerico.

Dal punto di vista numerico, questi modelli portano a considerare due differenti aspetti: la discretizzazione spaziale e la discretizzazione tempo-scala. Il metodo di approssimazione spaziale piu' diffuso e' certamente lo schema alle differenze finite, anche se recentemente altre tecniche di discretizzazione piu' potenti come gli elementi finiti, i covolumi-volumi finiti sono state considerate in tal senso dalla comunita' scientifica di analisi numerica.  
In letteratura il metodo piu' diffuso per la discretizzazione spazio-scala si basa su schemi espliciti, limitando la simulazione a passi tempo-scala molto piccoli. In alternativa, gli schemi semi-impliciti richiedono la soluzione efficiente di sistemi lineari di grandi dimensioni ad ogni passo.    
Da un punto di vista piu' generale, la soluzione approssimata con PDE per mezzo di tecniche di discretizzazione quali ad esempio gli elementi finiti e le differenze finite, generalmente porta alla risoluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni che devono essere risolti con sufficiente accuratezza pur mantenendo una buona efficienza computazionale.
Tecniche di precondizionamento e strategie di implementazione ad hoc rendono gli approcci iterativi di tipo proiettivo, come i metodi nello spazio di Krylov, di grande interesse.

Alcuni dei precedenti modelli possono essere inquadrati nell'ambito dei problemi inversi e della teoria della regolarizzazione.  E' di grande interesse scientifico evidenziare e capire connessioni tra i due diversi approcci.

Negli ultimi anni la collaborazione scientifica ormai consolidata con Colleghi Stranieri ha portato l'attività di ricerca del gruppo ad occuparsi di risoluzione numerica di sistemi lineari mal condizionati che provengono in generale dalla discretizzazione di problemi inversi lineari che devono percio' essere regolarizzati per rendere significativa la soluzione approssimata ottenuta. E' stato proposto un nuovo metodo iterativo di regolarizzazione alla Lavrentiev utilizzando una modifica del principio di discrepanza per la determinazione del parametro di regolarizzazione. Nel contesto della regolarizzazione alla Tikhonov si è proposto un'alternativa agli operatori di regolarizzazione alle differenze finite utilizzando proiettori ortogonali che possono essere scelti in modo da ottenere un'approssimazione più accurata della soluzione. Questa idea è stata considerata inoltre nell'ambito del metodo Truncated Singular Value Decomposition per la risoluzione di problemi lineari inversi discreti, introducendo un'iniziale proiezione ortogonale che suddivide lo spazio delle soluzioni in due parti, per permettere di incorporare informazioni disponibili sulla soluzione desiderata.

Sono stati inoltre proposti nuovi algoritmi per la soluzione di sistemi lineari di grandi dimensione e fortemente mal condizionati con vincoli di non negatività o bounds sui valori delle incognite. Solutori con queste possibilità sono di grande interesse nelle applicazioni perché permettono il miglioramento della qualità di immagini con rumore e sfuocate come avviene nel caso di ecografie e immagini satellitari.

Per risolvere il problema del deblurring di immagini, notoriamente malposto, si è proposta in una tecnica multilivello che utilizza un metodo di Krylov come schema base iterativo (MR-II CG nel caso di sfocamento simmetrico) e criteri di arresto legati al criterio della discrepanza. Gli operatori di prolungamento tra un livello e l'altro sono invece ottenuti dalla discretizzazione di PDE del secondo ordine non lineari per l'eliminazione del rumore conservando i contorni dell'immagine.  Il lavoro è attualmente in fase di sperimentazione nel caso di kernel non simmetrico utilizzando GMRES ed LSQR come solutori iterativi lineari

Queste nuove metogologie permettono di risolvere problemi provenienti da diversi settori applicativi quali medicina e astronomia.  Diversi progetti di ricerca sono ora in corso con industrie ed istituzioni  accademiche nazionali ed internazionali.



 

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