16314 - ANALISI MATEMATICA B

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso integrato di Analisi Matematica fornisce allo studente le conoscenze fondamentali e gli strumenti metodologici di base per la comprensione e la descrizione quantitativa dei problemi dell’ingegneria. Lo studente acquisisce familiarità con i concetti, le proprietà e le tecniche dell’analisi matematica, imparando a utilizzarle per affrontare e risolvere problemi applicativi di crescente complessità. In questo modulo lo studente approfondisce gli aspetti metodologici e applicativi dell’analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali, ai campi vettoriali, agli integrali multipli e alle equazioni differenziali. Impara a utilizzare tali strumenti per interpretare, modellare e risolvere problemi tipici dell’ingegneria, sviluppando una solida padronanza operativa delle principali tecniche analitiche.

Contenuti

LO SPAZIO EUCLIDEO Rⁿ

La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Cenni di topologia: sfere aperte, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati, insiemi compatti, sottoinsiemi di Rⁿ connessi per archi.

LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE

Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali. Punti di accumulazione. Limite di una funzione. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili. Derivata parziale e derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C¹. Regola della catena. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana e teorema di Schwarz. Estremi di una funzione. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Teorema del valor medio di Lagrange. Teorema di Fermat. Classificazione di estremi locali tramite il metodo dell'Hessiana.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali. Teoremi di esistenza, unicità e prolungamento delle soluzioni. Metodi di risoluzione per equazioni differenziali non lineari a variabili separabili, per equazioni differenziali lineari del primo ordine, per equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

INTEGRALI MULTIPLI

Definizione di integrale doppio di Riemann per funzioni definite su un dominio normale. Proprietà dell’integrale doppio. Integrali doppi su domini normali calcolati mediante integrali iterati. Teorema del cambiamento di variabili per l’integrale doppio. Generalizzazioni agli integrali tripli.

 

INTEGRALI DI CURVA E DI SUPERFICIE

Curve regolari e a tratti regolari, lunghezza di una curva, integrale di una funzione lungo una curva.

 

--- Se il tempo a disposizione lo permette --

Integrale di un campo vettoriale lungo una curva orientata. Campi vettoriali irrotazionali e conservativi: determinazione dei potenziali.

Teorema di Poincaré su insiemi semplicemente connessi. Teorema di Green-Gauss, teorema della divergenza, formula di Stokes.

Testi/Bibliografia

Teoria:

Dispense scritte al computer online su Virtuale.

Testi di riferimento per le dispense:

1) E. Giusti- Analisi Matematica 2, Terza Edizione, Bollati Boringhieri editore.

2) Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Elementi di Analisi Matematica due. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea. Liguori Editore

3) - G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht, Elementi di Analisi Matematica (Vol 2), Zanichelli, 2015.

Esercizi:

E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica (Vol. 2), Bollati Boringhieri, 1992.

Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Esercitazioni di matematica Volume II, Parte prima e seconda. Liguori Editore

Metodi didattici

Il corso di Analisi Matematica B si svolge al secondo semestre e rappresenta la seconda parte del corso integrato di Analisi Matematica (12 cfu).

Il corso di Analisi Matematica B è strutturato in lezioni frontali in aula, possibilmente alla lavagna, in cui vengono presentati innanzitutto gli aspetti teorici degli argomenti trattati. In particolare, dopo aver introdotto le nozioni di base, vengono enunciati e dimostrati i principali teoremi e risultati nell’ambito del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali e le equazioni differenziali ordinarie.

Successivamente ampio spazio viene dedicato alla risoluzione di esercizi.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Modalità di Verifica

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso una prova scritta (della durata di 2 ore), alla quale si accede se si è superata la prova scritta di Analisi Matematica A in un appello dello stesso anno.

Tecnicamente la prova di Analisi B è strutturata in due parti, una di teoria ed una esercizi, entrambe scritte, da superarsi in sequenza. I parametri di valutazione sono da ricondursi agli obiettivi riportati più in basso in questa descrizione.

Per partecipare alla prova scritta è necessario iscriversi nelle liste disponibili sul sistema AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/] con almeno 3 giorni di anticipo.

Una volta superata la prova, gli studenti potranno richiedere un esame orale integrativo per migliorare il voto.

L'esame orale integrativo è costituito da domande di teoria (definizioni, enunciati, dimostrazioni) e collegamento tra i i vari argomenti - nonchè sulla corretta interpretazione degli esercizi svolti nella prova scritta. 

Una volta concordata una data assieme al docente per l'esame orale integrativo, lo studente contatta il docente una settimana prima della data per avere, via email, una selezione di argomenti del programma da trattare.

Per il Modulo B, non sono previste prove intermedie. 

Il voto relativo all’esame dell’intero corso integrato di Analisi Matematica viene calcolato come media aritmetica delle votazioni riportate nei due moduli di Analisi Matematica A e Analisi Matematica B. Il voto del singolo esame del Modulo B è valido entro la sessione in cui è stato ottenuto (la prova scritta di Analisi A è valida 12 mesi). Nel caso di più voti per ciascun modulo, verrà considerato solo il voto più recente.

E' facoltà dello studente verbalizzare il voto media o ripetere la prova. Una volta svolto l'esame, i voti verranno caricati sulle piattaforme preposte (almaesami /virtuale) e verrà dato un tempo di almeno una settimana per accettare il voto, attraverso l'iscrizione ad un ulteriore appello online su almaesami.

 

Modalità di Valutazione: Obiettivi - Descrittori di Dublino.

Lo studente dovrà soddisfare, tramite le prove sovrascritte, ai punti 1-5 seguenti.

1. Conoscenza e capacità di comprensione

Lo studente acquisisce le conoscenze teoriche e gli strumenti matematici fondamentali del calcolo differenziale e integrale in più variabili, delle equazioni differenziali ordinarie e del calcolo vettoriale.

In particolare è in grado di:

• comprendere la struttura dello spazio euclideo n-dimensionale, le proprietà topologiche fondamentali;
  
• conoscere i concetti di limite, continuità, differenziabilità e sviluppo di Taylor per funzioni di più variabili;
• comprendere la teoria delle equazioni differenziali ordinarie, inclusi i teoremi di esistenza e unicità e i principali metodi risolutivi;
• conoscere la teoria degli integrali multipli, degli integrali di linea e di superficie e i principali teoremi del calcolo vettoriale (Green-Gauss, Divergenza e Stokes).

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Lo studente è in grado di utilizzare gli strumenti teorici per risolvere problemi matematici e applicativi tipici dell'ingegneria meccanica e aerospaziale.

In particolare sa:

• calcolare limiti, derivate parziali, gradienti, matrici hessiane e sviluppi di Taylor;
• studiare estremi liberi di funzioni di più variabili;
• risolvere equazioni differenziali del primo e del secondo ordine mediante i metodi studiati;
• calcolare integrali doppi e tripli, anche mediante cambiamento di variabili;
• calcolare integrali curvilinei e di superficie;
• verificare se un campo vettoriale è conservativo e determinarne il potenziale;
• applicare i teoremi fondamentali del calcolo vettoriale per risolvere problemi geometrici e fisici.

Le competenze acquisite consentono allo studente di affrontare modelli matematici utilizzati nelle discipline dell'ingegneria, quali problemi di meccanica, fluidodinamica, trasmissione del calore e dinamica dei sistemi.

3. Autonomia di giudizio

Lo studente sviluppa la capacità di selezionare gli strumenti matematici più appropriati per affrontare un problema e di valutare criticamente la correttezza delle procedure adottate e dei risultati ottenuti.

In particolare è in grado di:

• individuare il metodo di soluzione più adeguato in funzione delle caratteristiche del problema;
• verificare la coerenza matematica dei risultati ottenuti e interpretarne il significato;
• riconoscere le ipotesi di applicabilità dei principali teoremi e metodi di calcolo;
• analizzare criticamente le diverse strategie risolutive, motivando le scelte effettuate.

Questa autonomia costituisce la base per affrontare con metodo rigoroso problemi matematici e modellistici più complessi nei successivi insegnamenti dell'area ingegneristica.

 

4. Abilità comunicative

Lo studente acquisisce la capacità di esporre in modo rigoroso e con linguaggio matematico appropriato i concetti teorici, le dimostrazioni essenziali e le procedure risolutive.

In particolare è in grado di:

• utilizzare correttamente la notazione matematica;
• descrivere con chiarezza le ipotesi e le conclusioni dei principali teoremi;
• presentare in modo ordinato e logicamente coerente lo svolgimento di esercizi e problemi;
• argomentare le scelte metodologiche adottate nella risoluzione di un problema;
• comunicare risultati matematici sia in forma simbolica sia mediante un'adeguata interpretazione delle soluzioni ottenute.

5. Capacità di apprendimento  

Lo studente sviluppa un metodo di studio autonomo che gli consente di approfondire gli argomenti trattati e di acquisire nuovi strumenti matematici necessari nei successivi insegnamenti dell'area ingegneristica.

Al termine dell'insegnamento è in grado di:

• integrare le conoscenze acquisite con nuovi argomenti di analisi matematica e modellistica;
• consultare in autonomia testi universitari e documentazione scientifica di livello adeguato;
• applicare gli strumenti matematici appresi a problemi nuovi e interdisciplinari;
• affrontare con autonomia gli insegnamenti successivi che richiedono competenze avanzate di analisi matematica, quali meccanica razionale, fluidodinamica, meccanica dei continui, controlli automatici e discipline dell'ingegneria aerospaziale e meccanica.
  

La frequentazione del corso è tesa allo sviluppo delle qualità ai punti 1-5, con particolare riferimento al punto 4. 

 

Strumenti a supporto della didattica

Pagina web del corso su piattaforma Virtuale.

 

Dispense del docente in Virtuale [https://virtuale.unibo.it/].

 

Ricevimento studenti (il Martedì pomeriggio in presenza od online, su appuntamento)

 

Esercizi del Tutor.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simone Ciani