58414 - ALGEBRA E GEOMETRIA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede gli elementi essenziali dell'algebra lineare e della geometria elementare.

Contenuti

ORARIO DELLE LEZIONI E PAGINA VIRTUALE

Salvo eccezioni, le lezioni si terranno in  ... , campus di Cesena (Via dell’Università, 50) nei seguenti orari:

...

I quarti d'ora accademici saranno alle ...

I tutorati avranno luogo in aula ... nelle stesse finestre temporali, oppure online, su piattaforma Teams, in finestre temporali diverse. L'orario dei tutorati sara' determinato durante il corso.

Il diario delle lezioni e i fogli di esercizi saranno rese disponibili alla pagina Virtuale del corso, che gli studenti sono invitati a consultare regolarmente.

Sulla stessa pagina è disponibile un forum su cui gli studenti possono porre domande sui contenuti del corso o sulla sua organizzazione (lezioni, esami, etc). Si prega di utilizzare tale forum e di non mandare messaggi email per domande che possono essere rilevanti anche per gli altri studenti.

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PROGRAMMA DEL CORSO

ll corso si articola in 20 lezioni da 3 ore, suddivise nelle 7 unità didattiche qui descritte.

Tutti gli enunciati sono completi di dimostrazione, salvo dove espressamente indicato.

1. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, prodotto cartesiano. Relazioni di equivalenza. Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Campi. La congruenza modulo n e l'insieme delle sue classi di equivalenza Z/n; esempi. Zn è un campo se e solo se n è primo (senza dimostrazione). Funzioni; funzioni iniettive, suriettive, biiettive; immagine, composizione di funzioni, funzione inversa. Spazi vettoriali; sottospazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali: n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni continue a valori in R; R e' uno spazio vettoriale su Q. Esempi di sottospazi vettoriali; controesempi (curve, unione di sottospazi). L'intersezione di sottospazi e' un sottospazio. Combinazioni lineari, sottospazio generato da un insieme di vettori (Span). Insiemi di generatori e sequenze linearmente indipendenti. Basi; base canonica.
2. Metodo di Gauss per risoluzione di sistemi lineari. Un insieme di vettori e' una base se e solo se ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei suoi elementi. Coordinate di un vettore in una base data. Completare a una base, estrarre una base. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità. Dimensione. Due modi di descrivere un sottospazio vettoriale: forma parametrica e forma cartesiana; legami tra la dimensione e il minimo numero di parametri/di equazioni in una forma parametrica/cartesiana. Somma di sottospazi; formula di Grassman. 
3. Funzioni lineari; esempi e controesempi. Nucleo e immagine di una funzione lineare; il nucleo e l'immagine sono sottospazi vettoriali. Legame con l'iniettività e la suriettività. La composizione di applicazioni lineari è lineare, l'inversa di un'applicazione lineare è lineare. Teorema del rango. Isomorfismi lineari; essere isomorfi e' una relazione di equivalenza. Teorema dell'estensione lineare. Matrice di una funzione lineare in basi date. Prodotto righe per colonne di matrici. Matrici quadrate, matrice identità. Una applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se manda basi in basi. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Relazione tra lo spazio vettoriale delle funzioni lineari da V a W e lo spazio vettoriale delle matrici m x n. Matrici elementari.
4. Criteri per iniettività e suriettività. Matrice trasposta. Significato e proprietà delle colonne di una matrice. Rango di una matrice (per colonne). Calcolo del rango e della matrice inversa mediante le matrici elementari. Il rango per righe coincide con quello per colonne. Cambiamenti di base; esempi. Similitudine; essere simili e' una relazione di equivalenza. Iterazione di funzioni lineari con stesso dominio e codominio. Permutazioni e segno. Determinante di una matrice quadrata. Definizione tramite sommatoria sulle permutazioni. Il determinante e' multilineare nelle righe e nelle colonne, e si annulla se due righe (o due colonne) sono uguali. Le operazioni elementari di Gauss cambiano il determinante in modo controllato.
5. Matrici diagonali e loro determinante. Il determinante determina se una matrice e' invertibile. Teorema di Binet. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Sviluppo di Laplace del determinante (senza dimostrazione dell'equivalenza con l'altra definizione data). Formula per la matrice inversa di una matrice data tramite determinante (senza dimostrazione); metodo di Cramer. Matrici diagonali e loro proprieta'. Autovalori e autovettori di una funzione lineare. Basi di autovettori. Polinomio caratteristico; gli autovalori di f sono tutti e soli gli scalari che annullano il suo polinomio caratteristico. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Polinomio caratteristico di una funzione lineare con stesso dominio e codominio. Indipendenza lineare degli autovettori relativi ad autovalori distinti. Autospazi. Molteplicita' algebrica e geometrica. La molteplicità geometrica di ogni autovalore è maggiore o uguale a 1 e minore uguale della molteplicità algebrica. Una funzione lineare da V a V e' diagonalizzabile su un campo dato se e solo se tutti gli autovalori appartengono al campo e la molteplicita' algebrica di ciascun autovalore e' uguale alla sua molteplicita' geometrica. Cenni alla forma canonica di Jordan (senza dimostrazione).
6. Distanza euclidea. Forme bilineari: esempi e non esempi.  Matrice di una forma bilineare. Matrici congruenti; la congruenza e' una relazione di equivalenza. Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, matrici simmetriche e antisimmetriche. Basi ortogonali per forme bilineari simmetriche; esistenza quando 2 e' invertibile nel campo. Rango di una forma bilineare; sua buona definizione (due matrici congruenti hanno lo stesso rango). Teorema di Sylvester complesso. Segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. Teorema di Sylvester reale (cenno di dimostrazione). Forme bilineari simmetriche (semi)definite positive o negative; prodotti scalari. Basi ortonormali. Cenni sulle forme sesquilineari e sui prodotti hermitiani. Metodo di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale. Indipendenza lineare di vettori ortogonali. Estensione di un sistema ortogonale a una base ortogonale. Cenni di applicazioni: analisi di Fourier e Hessiana di una funzione differenziabile due volte.
7. Sottospazi affini; dimensione, forme parametrica e cartesiana. Esempi dalla geometria euclidea (rette, piani, rette parallele, rette sghembe). Un sottospazio affine di K^n e' l'insieme non vuoto delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo in n incognite. Teorema di Rouché-Capelli. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio affine. Complementare ortogonale a un sottospazio vettoriale. Metodo dei minimi quadrati. Ortogonale a un sottospazio affine passante per un punto dato. Esempio: calcolo della retta di regressione di un insieme finito di punti in R^2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwatz e disuguaglianza triangolare. Angolo convesso tra due vettori. Isometrie tra spazi vettoriali reali con prodotto scalare. Ogni isometria e' iniettiva. Composizione di isometrie e' un'isometria. Matrice di un'isometria. Classificazione delle isometrie da R^2 a R^2. Inversa di un'isometria biiettiva. Matrici ortogonali. Fatti sulle matrici ortogonali e sui loro autovalori e autovettori reali e complessi (senza dimostrazione). Enunciato del teorema spettrale reale (senza dimostrazione); calcolo della segnatura mediante gli autovalori.
   

Testi/Bibliografia

Le lezioni vengono svolte alla LIM (lavagna interattiva multimediale) e, al termine di ciascuna lezione, il contenuto delle lavagne viene pubblicato sulla pagina Virtuale del corso.

Gli studenti che seguono regolarmente le lezioni possono preparare l'esame utilizzando esclusivamente o prevalentemente tali appunti. In aggiunta, si consigliano le seguenti risorse, disponibili gratuitamente online:

• Note del corso, disponibili sulla pagina Virtuale, in italiano, in costante aggiornamento;
• Bruno Martelli, "Geometria e Algebra Lineare", in italiano, contiene una buona selezione di esercizi e dimostrazioni rigorose, l'approccio è perlopiù teorico;
• Dan Margalit, Joseph Rabinoff, "Interactive Linear Algebra", in inglese, contiene molti esempi, anche di natura applicata, e diagrammi interattivi;
• David Cherney, Tom Denton, Rohit Thomas and Andrew Waldron, "Linear Algebra", in inglese, contiene molti esempi concreti ed applicati.

Infine, sottolineiamo che gli argomenti del corso sono tra i più diffusi e standard nella matematica odierna, sia pura che applicata; di conseguenza ci aspettiamo e confidiamo che qualsiasi libro di geometria e algebra lineare, se indicato per i primi anni di studio universitario, contenga in essenza, possibilmente con un'esposizione e un focus diversi, tutti gli argomenti visti durante il corso. 

I fogli di esercizi disponibili sulla pagina Virtuale del corso sono sufficienti per prepararsi all'esame. Altri esercizi per l'esercitazione autonoma si possono trovare nelle risorse elencate sopra, o ancora, ci aspettiamo e confidiamo, in qualsiasi altro libro di geometria e algebra lineare per lo studio universitario.

Metodi didattici

Il corso, che si svolge esclusivamente in presenza, consiste di 60 ore di lezione, durante le quali gli argomenti verranno presentati con definizioni, teoremi, dimostrazioni, esempi, controesempi, applicazioni ed esercizi.

Verranno proposti agli studenti circa 7 fogli di esercizi da risolvere autonomamente, al fine di assimilare e rielaborare i contenuti appresi a lezione.

In aggiunta alle 60 ore di lezione, verranno svolte alcune ore di tutorato, in presenza oppure online, dedicate alla correzione di tali esercizi e al chiarimento dei dubbi.

Il ricevimento con il docente, per domande e chiarimenti sulle lezioni, verrà effettuato nell'ora successiva alle lezioni, fino ad esaurimento delle domande. È inoltre possibile chiedere domande scientifiche (e anche organizzative) sull'apposito forum della pagina Virtuale del corso. Come già indicato, si prega di usare tale strumento e di non inviare emails quando le domande poste possono essere interessanti anche per gli altri studenti.

Si raccomanda caldamente di:

- seguire regolarmente le lezioni e i tutorati, partecipando in modo attivo e facendo domande quando necessario;

- dopo ogni lezione, riguardare gli appunti e soffermarsi sui concetti che non siano stati compresi appieno;

-svolgere e consegnare regolarmente gli esercizi assegnati; in seguito confrontare con attenzione le proprie soluzioni con quelle illustrate dal docente e dai tutor;

-usufruire del ricevimento per chiarire per tempo eventuali dubbi, evitando di aspettare le settimane immediatamente precedenti all'esame.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame sarà scritto e suddiviso in due parti:

1. un test a risposta multipla della durata di 60 minuti verificherà che gli studenti abbiano appreso le nozioni di base introdotte nel corso e siano in grado di applicarle in situazioni elementari.

2. uno scritto della durata di 60 minuti a risposta aperta verificherà l'apprendimento e la comprensione dei contenuti teorici del corso e la capacita' di applicazione a problemi piu' complessi, nonche' la padronanza del linguaggio matematico.

Lo scritto si svolgerà nella stessa giornata del test, dopo una breve pausa. I risultati del test saranno disponibili immediatamente dopo la fine del test stesso.

Nel test sarà possibile totalizzare un massimo di 33 punti: ci saranno 11 domande, una risposta corretta vale +3, una risposta sbagliata vale -1, una risposta non data vale 0. Nello scritto sarà possibilere ottenere un massimo di 30 punti: ci saranno tre domande a risposta aperta, e per ognuna si potrà ottenere un massimo di 10 punti.

L'esame e' superato se valgono tutte le seguenti condizioni:

1. Si sono ottenuti almeno 15 punti nel test.
2. Si sono ottenuti almeno 15 punti nello scritto.
3. La media dei punteggi ottenuti nel test e nello scritto e' almeno 18.
   

In caso di superamento dell'esame, il voto finale e' pari alla media dei punteggi ottenuti nel test e nello scritto; se questa media supera 30, il voto finale e' 30 e lode. In particolare, è necessario totalizzare almeno 15 punti nel test per essere ammessi allo scritto.

È necessario iscriversi all'esame su Alma Esami, e non si può svolgere lo scritto in un appello diverso dal test. Non sono ammessi materiali di consultazione né strumenti elettronici.

Strumenti a supporto della didattica

- Lezioni seguibili in presenza. Le lezioni non verranno registrate né trasmesse online, ma gli appunti saranno messi a disposizione sulla pagina Virtuale.

- Incontri con i tutor.

- Fogli di esercizi assegnati e corretti periodicamente.

- Libri di testo e libri di esercizi consigliati

- Pagina del corso su Virtuale, con il programma svolto, i fogli di esercizi, i forum, gli annunci, etc.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Bianchi