00013 - ANALISI MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente deve sviluppare tre tipi di abilità/conoscenze: 1) eseguire calcoli su funzioni di una o più variabili (limiti, derivate, integrali) e saper risolvere alcuni tipi di problemi che utilizzano gli strumenti dell’analisi matematica (calcolo della lunghezza di una curva, di un volume o risoluzione di alcune classi di equazioni differenziali ordinarie); 2) capire e saper usare le definizioni di base dell’analisi matematica; 3) conoscere le funzioni elementari.

Contenuti

Introduzione. Cenni di teoria degli insiemi. Prodotto cartesiano. Relazioni.

Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Composizione tra funzioni. Funzioni invertibili.

Insiemi ordinati. Maggioranti e minoranti. Massimi e minimi. Estremo superiore e inferiore.

Completezza. Numeri reali.

Numeri naturali. Numeri interi. Numeri razionali. Proprietà di densità. Cenni sulla cardinalità. Principio di induzione.

Numeri complessi. Definizione e operazioni sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso, modulo e argomento di un numero complesso, forma esponenziale di un numero complesso. Radici di un numero complesso ed equazioni algebriche in C. 

Successioni reali. Successioni in R; limiti di successioni; teoremi di permanenza del segno e del confronto; operazioni sui limiti. Successioni monotone e loro limiti; limitatezza ed estremi di sottoinsiemi di R. Il numero e; alcuni limiti notevoli di successioni.

Funzioni reali di variabile reale, limiti e continuità. Funzioni elementari di variabile reale: potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni iperboliche e loro inverse. Limiti di funzioni reali di variabile reale; estensione dei risultati stabiliti per le successioni; limite di funzione composta. Limite destro e sinistro; funzioni monotone e loro limiti. Alcuni limiti notevoli. Continuità di funzioni reali di variabile reale, operazioni sulle funzioni continue. I teoremi degli zeri, dei valori intermedie di Weierstrass.

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale. Derivata di una funzione; regole di derivazione; derivata delle funzioni elementari. Teoremi di Rolle e di Lagrange, loro conseguenze; crescenza e decrescenza. Il teorema di de l'Hôpital. Derivate di ordine superiore; formula di Taylor. Massimi e minimi relativi; funzioni convesse, flessi. Asintoti; studio di funzione.

Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Integrale di funzioni continue; proprietà dell'integrale; teorema della media integrale, teoremi fondamentali del calcolo integrale; primitiva di una funzione.Integrazione per parti; integrazione per sostituzione; integrazione di funzioni razionali.

Elementi di algebra lineare. Vettori in R^n, operazioni tra vettori. Rette nel piano, rette e piani nello spazio, equazione cartesiana ed equazione parametrica, condizioni di parallelismo e ortogonalità. Matrici e operazioni tra di esse. Forme quadratiche e loro segnatura.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali. Funzioni di due variabili, esempi, loro grafico e insiemi di livello. Definizione di limite per funzioni di due variabili. Definizione di funzione continua (per funzioni di due variabili). Teorema di Weierstrass. Definizione di derivata parziale. Definizione di differenziabilità e piano tangente al grafico di una funzione in un punto. Relazioni varie tra le nozioni di differenziabilità, continuità e derivabilità. Teorema del differenziale totale. Definizione di derivata direzionale. Significato geometrico del gradiente. Teorema per il calcolo del gradiente di somme, prodotti, rapporti e composizione di funzioni. Derivate di ordine 2, Teorema di Schwarz, matrice Hessiana, Formula di Taylor al 2nd ordine. Differenziale secondo. Definizione di punto critico. Definizioni dipunto di massimo/minimo (locale e assoluto). Teorema di Fermat. Teorema sulla classificazione dei punti critici.

Testi/Bibliografia

M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli Editore

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli - Analisi Matematica, ed. McGraw Hill. (seconda edizione)

G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 1, ed. Zanichelli.

Marcellini-Sbordone: Elementi di analisi matematica uno (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Editore, Napoli 2002.

 

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula integrate con esempi e controesempi ed esercizi svolti.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta, della durata di 2,5 ore. La prova scritta, prova unica, sarà suddivisa in una parte con esercizi (aperti) e una parte con domande di teoria sui vari argomenti trattati nel corso. 

Durante la prova non è consentito l'uso di calcolatrici, testi e appunti.

 

Studenti/sse con DSA o disabilità temporanee o permanenti: si raccomanda di contattare per tempo l’ufficio di Ateneo responsabile (https://site.unibo.it/studenti-con-disabilita-e-dsa/it): sarà sua cura proporre agli/lle studenti/sse interessati/e eventuali adattamenti, che dovranno comunque essere sottoposti, con un anticipo di 15 giorni, all’approvazione del/della docente, che ne valuterà l'opportunità anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento.

Strumenti a supporto della didattica

Eventuali materiali didattici integrativi messi a disposizione dai docenti sulla piattaforma Virtuale. Attività di tutorato.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Gregorio Chinni

Consulta il sito web di Massimo Cicognani