66731 - ALGEBRA E GEOMETRIA PER LE APPLICAZIONI

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente acquisisce alcune tecniche algebriche avanzate utili e significative per le applicazioni.

Contenuti

Modulo I (24 ore, Mirella Manaresi)
Richiami sui polinomi in una variabile a coefficienti in un campo, risultante di due polinomi.
Polinomi in più variabili a coefficienti in un campo e  loro proprietà. Ordini monomiali. Basi di Groebner di un ideale dell'anello dei polinomi e algoritmo di Buchberger.
Sistemi di equazioni polynomiali e teoria dell'eliminazione. Risultanti e ideali eliminazione.
Applicazioni delle basi di Groebner e della teoria dell'eliminazione per la ricerca di punti singolari di curve e superfici, delle equazioni cartesiane di una varietà data in forma parametrica, per la soluzione di problemi di interpolazione e di problemi cinematici della robotica.


Modulo II (24 ore, Francesca Cagliari):

1. Classificazione delle superfici compatte (14 ore):
Superfici compatte con e senza bordo. Gruppo fondamentale e teorema di Van Kampen.  Caratteristica di Eulero per una varietà triangolata.
Classificazione delle superfici compatte con e senza bordo.

2. Curve e superfici (10 ore):
Curve piane: Cicloide, Epicicloide e Ipocicloide, Lemniscata, Cardioide, Catenaria, Cissoide. Esempi grafici.
Curve nello spazio: Elica cilindrica, Elicoide, Asteroide.
Superfici parametriche in R³.  Studio di alcune superfici notevoli, quali, ad esempio: la Sfera, l'Ellissoide, il Toro, il Paraboloide e l'Iperboloide.


I due moduli procederanno parallelamente, perche' alcuni argomenti trattati in uno dei due moduli utilizzeranno strumenti sviluppati nell'altro.

Testi/Bibliografia

Per il Modulo I:
D.Cox - J.Little - D.O'Shea: Ideals, Varieties and Algorithms. 3rd Ed.  Undergraduate Texts in Mathematics. Springer Verlag, New York 2007

Per il Modulo II:

Testi consigliati:
L.Christine Kinsey: Topology of Surfaces . Springer Verlag
R. Caddeo, A. Gray: Lezioni di geometria differenziale. Curve e Superfici. vol. 1 Cooperativa Universitaria Editrice Cagliaritana (2001)

Metodi didattici

Le lezioni saranno accompagnate da esercitazioni in laboratorio. Durante le lezioni saranno distribuiti fogli di esercizi (http://www.dm.unibo.it/~manaresi/ e http://www.dm.unibo.it/~cagliari/) , che si aggiungono a quelli reperibili nei testi consigliati. Parte degli esercizi proposti  verranno svolti nelle esercitazioni in laboratorio, in quanto richiedono l'utilizzo di software per il calcolo simbolico, parte dovranno essere svolti autonomamente dagli studenti e consegnati prima di sostenere la prova orale.  Nell'orario di ricevimento, che sara' fissato appena noto l'orario delle lezioni, gli studenti potranno essere seguiti in modo personalizzato.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste  in una prova orale che partirà dalla discussione di fogli di esercizi assegnati durante il corso e la cui soluzione è da consegnare almeno una settimana prima della prova orale. Per la soluzione degli esercizi relativi al Modulo I è necessario utilizzare software per il calcolo simbolico, quale per esempio COCOA o Singular o altro software dsponibile in laboratorio.

Trattandosi di un corso complementare vi è notevole flessibilita' nel concordare la data in cui sostenere la prova orale.

Strumenti a supporto della didattica

Lezioni in aula ed esercitazioni in laboratorio.
Durante le lezioni saranno distribuiti fogli di esercizi reperibili sui siti http://www.dm.unibo.it/~manaresi/ e   http://www.dm.unibo.it/~cagliari/ in aggiunta al materiale disponibile nei testi consigliati.
Per il Modulo I del corso saranno utilizzati prevalentemente i software COCOA (reperibile sul sito:  ftp://cocoa.dima.unige.it/cocoa) e Singular (scaricabile dal sito http://www.singular.uni-kl.de/).
Presso i laboratori didattici del Dipartimento sono, inoltre, disponibili i software: Macaulay, Maple, Reduce,  Mathematica, che gli studenti potranno imparare a conoscere utilizzabili per svolgere gli esercizi del corso.

Durante le ore di ricevimento gli studenti saranno supportati individualmente.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~manaresi/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Mirella Manaresi

Consulta il sito web di Francesca Cagliari