58414 - ALGEBRA E GEOMETRIA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede gli elementi essenziali dell'algebra lineare e della geometria elementare.

Contenuti

Sistemi lineari.
Operazioni elementari sulle righe di una matrice.
Riduzione di una matrice in forma a scala: metodo di riduzione di Gauss. Applicazione
alla risoluzione dei sistemi lineari.
R-spazi vettoriali: denizione ed esempi.
Lo spazio vettoriale R^n; lo spazio vettoriale delle matrici mxn ad entrate reali.
Sottospazi vettoriali. Esempi e controesempi.
Lo spazio vettoriale R[x] dei polinomi in una variabile a coefficienti reali.
Combinazioni lineari e generatori di uno spazio vettoriale.
Spazi vettoriali finitamente generati: esempi e controesempi.
Intersezione, unione e somma di sottospazi.
Dipendenza e indipendenza lineare.
Basi di uno spazio vettoriale. Esistenza di una base di uno spazio vettoriale finitamente
generato.
Dimensione di uno spazio vettoriale.
Coordinate di un vettore rispetto ad una base.
Somma diretta di sottospazi vettoriali.
Formula di Grassmann e sue applicazioni.
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali: denizione, esempi e controesempi.
Costruzione di applicazioni lineari, condizioni di esistenza e/o unicita`.
Studio di una applicazione lineare: nucleo e immagine. Iniettivita` e suriettivita`.
Teorema delle dimensioni e sue conseguenze.
Controimmagine di un vettore mediante una applicazione lineare. Varieta` lineari
Matrici associate ad una applicazione lineare.
Rango di una matrice.
Teorema di Rouche' Capelli.
Prodotto di matrici, composizione di applicazioni lineari.
Matrici invertibili e calcolo dell'inversa di una matrice.
Cambiamenti di base.
Matrici simili.
Determinante e sue proprieta`. Teorema di Binet.
Autovalori e autovettori di un endomorfismo.
Autospazi e loro proprieta`.
Polinomio caratteristico.
Molteplicita` algebrica e molteplicita` geometrica di un autovalore e relazione fra di esse.
Matrici diagonalizzabili: denizione, esempi, controesempi.
Diagonalizzabilita` di una matrice su R: condizioni necessarie e sufficienti.
Studio della diagonalizzabilita` di una matrice dipendente da uno o piu` parametri. Elementi di geometria affine: sottovarieta` affini. Rette e piani in R3, loro rappresentazione parametrica e cartesiana. Il prodotto scalare in Rn. Basi ortogonali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. Decomposizione di R^n nella somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Rette ortogonali. Piani ortogonali. Retta ortogonale ad un piano. Distanza tra sottovarieta` affini.

 

Testi/Bibliografia

Le note del corso saranno disponibili nella pagina web del titolare dell'insegnamento

Metodi didattici

Le lezioni teoriche verranno seguite da numerose esercitazioni. Gli studenti saranno invitati a fare domande e a rispondere alle domande del docente in aula e sollecitati
ad esercitarsi a casa. Verranno organizzati incontri di correzione degli esercizi e ricevimenti collettivi oltre agli usuali ricevimenti individuali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. Per accedere alla prova orale occorre superare la prova scritta. La prova scritta e` costituita da tre esercizi.
Il punteggio di ogni esercizio viene specificato accanto al testo dell'esercizio stesso. Gli studenti devono sostenere la prova orale nello stesso appello in cui hanno superato la prova scritta.

Strumenti a supporto della didattica

Le note del corso e i testi dei compiti d'esame degli anni precedenti saranno disponibili online. Ogni settimana verranno altresi` resi disponibili online esercizi.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicoletta Cantarini

Consulta il sito web di Fabrizio Caselli