58048 - MATEMATICA CON ESERCITAZIONI

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale, del calcolo vettoriale e dell'algebra lineare, dei primi elementi del calcolo per funzioni di più variabili, dei numeri complessi, conosce i metodi più elementari per la soluzione di equazioni differenziali e ha competenze e abilità pratiche sui metodi numerici per la risoluzione con il calcolatore di alcune classi di problemi della matematica. In particolare, lo studente è in grado di rappresentare dati o funzioni in forma grafica, eseguire applicazioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali, eseguire operazioni con vettori e matrici e sa utilizzare i concetti alla base del calcolo numerico, quali analisi dell'errore, approssimazione di dati sperimentali, interpolazione, integrazione numerica, equazioni non lineari e sistemi di equazioni lineari.

Contenuti

Prerequisiti: Teoria elementare degli insiemi. Algebra dei numeri reali. Equazioni e disequazioni algebriche. Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni circolari. Geometria analitica nel piano euclideo. Vettori nel piano e nello spazio.

Numeri reali, disequazioni, valore assoluto.
Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali e logaritmi, funzioni circolari e iperboliche e loro inverse.
Numeri complessi, numeri complessi in forma trigonometrica, formula di De Moivre e formula di Eulero.
Elementi di algebra lineare:
Sistemi lineari, matrice completa e matrice incompleta di un sistema,  riduzione a scala per righe,  rango di una matrice, teorema di Rouché-Capelli,  risoluzione di un sistema con il metodo di riduzione a scala (metodo di eliminazione di Gauss), determinante di una matrice quadrata, regola di Cramer.
Struttura di spazio vettoriale di R^n,  lineare dipendenza e indipendenza di vettori, collegamento con il rango di opportune matrici,  basi di sottospazi, dimensione di sottospazi, trasformazioni lineari di R^n a R^m, nucleo e immagine, matrice rappresentativa di una trasformazione lineare,  trasformazioni lineari di R^n in sé,  autovalori e autovettori, basi spettrali, matrici quadrate definite positive, definite negative, non definite.
MODULO 2:
Limiti e continuità,  i principali teoremi.
Derivate, principali teoremi ed applicazioni: tangenti a curve, crescenza e decrescenza di funzioni, convessità, studio di grafici di funzioni, formula di Taylor.
Integrali per funzioni di una variabile, primitive, integrazione di funzioni razionali, integrazione per sostituzione e per parti.
Equazioni differenziali ordinarie, metodi risolutivi per equazioni differenziali lineari di primo ordine, a variabili separabili, lineari di ordine superiore con coefficienti costanti.
Primi elementi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili, derivate parziali, gradiente e matrice hessiana, punti di massimo e di minimo, determinazione del mimino e massimo assoluto di una funzione di due variabili in un dominio chiuso e limitato.
Integrali doppi: significato geometrico, formula di riduzione; cambiamento di variabili, con particolare riguardo alle coordinate polari.

Testi/Bibliografia

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004.

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare. Zanichelli, Bologna, 2014.

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2009.

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.

P. Negrini: Equazioni differenziali. Pitagora editrice, Bologna, 1999.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni guidate con tutore.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale di 3 ore (durante la quale è ammesso l'uso di libri, appunti, calcolatrici) e una successiva prova orale.
La prova scritta mira ad accertare le abilità acquisite attraverso la risoluzione di esercizi sugli argomenti affrontati. Essa consiste nello svolgimento di 5 esercizi , ciascuno corrispondente a 6 punti. Per essere ammessi alla prova orale occorre ottenere un punteggio minimo di 15 punti.  La validità della prova scritta superata è limitata agli appelli di una stessa sessione d'esame. La prova orale mira a verificare l'acquisizione delle conoscenze previste dal programma del corso e si discutono anche esercizi. Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto delle valutazioni riportate in entrambe le prove.

Strumenti a supporto della didattica

1. Esercizi e materiale didattico sul sito  http://www.dm.unibo.it/~achilles/ e sul sito http://campus.unibo.it/cgi/lista?AnnoAccademico=2013&IdComponenteAF=376388.

2. Alma Mathematica: corsi di e-learning con lo scopo primario di facilitare la preparazione matematica nel periodo di transizione tra la scuola secondaria e gli studi universitari.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~achilles/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Hans Joachim Rudiger Achilles

Consulta il sito web di Paolo Negrini