27213 - ANALISI MATEMATICA 2

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente acquisisce conoscenze matematiche di carattere più informativo, utilizzando un'ampia strumentazione di base per affrontare la descrizione di fenomeni fisici diversi. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; calcolare semplici integrali di funzioni in piu' variabili; calcolare semplici integrali di funzioni definite su superfici. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: - risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; - studiare la convergenza di integrali in piu' variabili; - calcolare integrali superficiali.

Contenuti

Spazi metrici, spazi normati, spazi con prodotto interno. Spazi metrici completi. Spazi di Banach e spazi di Hilbert. Il Teorema di Banach-Caccioppoli. Convergenza uniforme e totale. Equazioni differenziali: esistenza ed unicità del problema di Cauchy (Teorema di Peano-Picard). Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: limiti, derivate direzionali, derivate parziali, differenziale di una  funzione, regola della catena,  gradiente di una funzione, formula di Taylor. Ricerca di massimi e minimi liberi: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Calcolo infinitesimale per le curve: curve regolari e integrali di linea. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vettoriali: limiti continuità e differenziabilità di una funzione, differenziale di una funzione, matrice Jacobiana, matrice Hessiana, formula di Taylor. Teorema delle funzioni implicite (Dini).  Il Teorema della funzione inversa. Varietà k-dimensionali, estremi locali e vincolati,  integrali curvilinei, calcolo integrale in più variabili. Spazio tangente e spazio normale ad una varietà. Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, ricerca di minimi e massimi vincolati.  Calcolo integrale: integrale multiplo,  insiemi semplici,  regolari e misurabili. Teorema di Fubini, Teorema di integrazione mediante cambiamento di variabile. Cenni alla teoria della misura, cenni all'integrazione astratta, integrale di Lebesgue,  Teorema di Fubini e di Lebesgue, spazi L^p. Campi vettoriali e integrali di linea di seconda specie. Campi vettoriali e potenziali. Forme differenziali. Integrali di superficie.
I teoremi di Gauss-Green, Gauss e Stokes. 

Testi/Bibliografia

Saranno disponibili su AMS campus le lezioni svolte dal docente

AMS campus

Testi di riferimento per il corso.

C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Zanichelli);

W. Rudin: Analisi Reale e Complessa (Boringhieri);

E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Boringhieri).  

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica volume 2 (Zanichelli);

T. Tao: An introduction to measure theory, GSM 126, AMS;

Marcellini Sbordone: Esercitazioni di Matematica,  Secondo volume (Liguori Editore);  

M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Progetto Leonardo - Esculapio (2012).  

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula. Materiale complementare al corso sarà disponibile su AMS Campus

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Appello d'esame. Per poter accedere all'esame, in ogni sua fase, è sempre obbligatorio iscriversi alle liste degli appelli pubblicate su AlmaEsami

La prova d'esame finale consiste in una prova scritta (suddivisa in due parti, A e B, tra loro propedeutiche) e una orale-scritta (suddivisa in due parti, C e D, tra loro propedeutiche). La prova prova scritta (A+B) ha una durata complessiva di 2 ore; ad essa si accede previa iscrizione alle liste aperte su AlmaEsami dal docente. Superano la prova A gli studenti che ottengono almeno 4 punti su 9. Per gli studenti che non superano la prova A non si procederà alla correzione della prova B. Tali studenti dovranno ripetere l'esame dall'inizio. Si considera superata la prova B se il candidato realizza almeno 6 punti su 10. Il non superamento della parte B determina la decadenza della validità del punteggio positivo della prova A. Gli studenti che studenti che non superano la prova B dovranno ripetere l'esame dall'inizio.

Gli studenti che superano entrambe le prove (A e B) sono ammessi alle successive fasi (orale-scritta) e possono iscriversi alle liste di AlmaEsami pubblicate dal docente denominate C e D. Le prove C e D ("orale-scritta") sono così organizzate: la prova C, della durata di 45 minuti e del valore complessivo di 5 punti, è somministrata dal docente su un testo scritto articolato su tre quesiti. Il candidato è tenuto a svolgerla per iscritto. Al termine della prova C, se la somma dei punteggi realizzati nelle prove A, B e C è maggiore o uguale a 15, il candidato sarà ammesso alla fase D che avrà luogo immediatamente dopo sotto forma di un breve colloquio (con la commissione) svolto (dal candidato) alla lavagna sui contenuti del corso. Potranno inoltre essere richiesti ulteriori chiarimenti sulle prove A,B, C svolte dal candidato.

Nel caso in cui la somma dei punteggi delle prove A, B e C sia inferiore a 15 lo studente non è ammesso alla fase D e decade il valore di tutte le precedenti prove A e B le quali dovranno essere quindi ripetute in altri appelli.

La valutazione della fase D varia da -6 punti a +6 punti.

Il candidato dovrà inoltre aver svolto tutti gli esercizi proposti dal docente durante la lezione. Questo lavoro casalingo è denominato LC. Tali esercizi dovranno essere raccolti in un quaderno,  scritto a mano dal candidato (non saranno presi in considerazione testi scritti al computer o fotocopie), da consegnare alla commissione d'esame prima dello svolgimento della prova D. La commissione potrà formulare domande inerenti lo svolgimento degli esercizi assegnati.

Il voto finale dell'esame è dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle prove A, B, C, D a cui si aggiungono fino a 2 punti ulteriori, qualora la valutazione degli esercizi presentati dal candidato sul quaderno (lavoro casalingo LC) sia positiva.

Nel caso in cui il punteggio così ottenuto sia inferiore a 18, lo studente è respinto e deve ripetere l'esame dall'inizio essendo decaduta la validità di ciascuna delle prove A,B,C e D.

Le eventuali lodi sono attribuibili, a discrezione del docente, nei soli casi in cui, sommando i punteggi delle prove A, B, C, D e tenuto conto di LC, si ottenga un punteggio maggiore o uguale a 30. 

La validità del punteggio delle prove A e B, se entrambe positive, è limitato alla sola sessione d'esami d'esami in cui sono state sostenute per cui non hanno validità per eventuali appelli appartenenti a sessioni d'esami poste al termine del ciclo successivo.

Esempio di prova A+B

Esempio di prova C

Prove in itinere: durante il corso è previsto lo svolgimento di due prove in itinere (I1 e I2) riservate ai soli studenti iscritti al secondo anno in corso. Tuttavia, il docente si riserva di dar corso allo svolgimento di queste prove in relazione alla possibilità di individuare le aule da destinare allo scopo durante lo svolgimento delle lezioni e al numero degli studenti che vogliono iscriversi.

Le date di tale prove saranno pubblicate su AlmaEsami.

Tali prove hanno lo scopo di incentivare l'apprendimento degli studenti durante le lezioni. La prima prova avrà luogo prima della fine del corso, non prima della settima settimana di corso. La successiva avrà luogo alla conclusione del corso o in concomitanza del primo appello.

La prima prova, a cui si accede previa iscrizione alla lista preposta di almaEsami, attribuirà al più 9 punti e sarà considerata superata qualora il candidato totalizzi almeno 4 punti dei 9 disponibili. Potranno iscriversi alla seconda prova pubblicata su AlmaEsami soltanto gli studenti che avranno superato la prima prova in itinere. La seconda prova in itinere attribuirà al più 10 punti e sarà considerata superata qualora il candidato realizzi almeno 6 punti dei 10 disponibili. Il non superamento della seconda prova in itinere determinerà la decadenza dell'eventuale punteggio positivo ottenuto nella prima prova in itinere. Gli studenti che supereranno le due prove in itinere potranno iscriversi alle fasi C e D secondo le stesse modalità già descritte in precedenza per il superamento degli appelli d'esame. Le modalità di calcolo del voto finale per coloro che superano le prove in itinere sono le stesse già descritte in precedenza considerando, in luogo dei punteggi delle prove A e B, rispettivamente i punteggi delle prove I1 e I2. La validità delle prove I1 e I2 è riservata alla sola sessione d'esami immediatamente successiva alla fine del corso. Nel caso in cui lo studente non dovesse superare o la prova C  o D, decade la validità delle prove I1 e I2 e il candidato dovrà ripetere l'esame in altro appello svolgendo le prove A,B,C,D secondo le modalità già descritte in precedenza.

La durata di ciascuna delle prove in itinere è di 90 minuti. La struttura delle prove I1 e I2 è analoga, rispettivamente, a quella delle prove A e B. Tuttavia il docente si riserva di apportare qualche modifica sul numero di esercizi da svolgere. 

Esempio di prima prova in itinere I1

Esempio di seconda prova in itinere I2

Strumenti a supporto della didattica

Dispense del corso su AMS Campus

Eventuale tutoraggio (qualora assegnato).

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.unibo.it/SitoWebDocente/default.htm?UPN=fausto.ferrari@unibo.it

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fausto Ferrari