99560 - FINITE DIFFERENCE METHODS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS M

Anno Accademico 2022/2023

  • Docente: Michele Ducceschi
  • Crediti formativi: 6
  • SSD: ING-IND/11
  • Lingua di insegnamento: Inglese

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente apprende ed è in grado di implementare il metodo delle differenze finite per simulare sistemi acustici lineari e nonlineari. Questi sistemi includono sistemi a gradi di libertà discreti (oscillarore armonico, oscillatore di Duffing, oscillatore di van der Pol, oscillatori con meccanismi di perdita nonlineari), ed anche sistemi estesi vibranti (corde, cavi, barre, membrane e piastre, in regimi lineare e nonlineare). Inoltre, lo studente apprende i metodi matematici utilizzati per l’analisi di tali sistemi, quali metodi di Fourier e Laplace per i sistemi lineari, e metodi perturbativi per i sistemi non lineari.

Contenuti

1. Introduzione alle differenze finite. Approssimazione degli operatori temporali. Errore di troncamento. Richiami su trasformata di Laplace e trasformata z per sistemi continui e discreti lineari e invarianti nel tempo.

2. Oscillatore armonico. Discretizzazioni alle differenze finite. Stabilità. Metodi energetici. Metodo dell'equazione modificata. Discretizzazione esatta. Oscillatore con perdita. Oscillatore con forzante esterna. Soluzione analitica via trasformata di Laplace. Funzione di Green e teorema della convoluzione.

3. Oscillatori nonlineari. Piano delle fasi e punti di equilibrio. Oscillatore cubico (di Duffing). Metodi analitici per ricavare la relazione tra ampiezza e frequenze (scale multiple, Lindstedt-Poincaré). Oscillatori con smorzamento: van der Pol. Ciclo Limite. Risoluzione alle differenze finite. Metodi energetici. Schemi espliciti, linearmente impliciti e completamente impliciti.

4. Banche di oscillatori. Generalizzazione agli autovalori per un sistema lineare. Transizione verso i sistemi continui.

5. Discretizzazione spaziale. Differenze finite, metodi di Galerkin, elementi finiti.

6. Equazione delle onde (iperbolica 1D). Velocità di fase e di gruppo. Soluzione nel campo di Fourier: modi propri. Equazione con perdite e forzante esterna. Condizioni al contorno di tipo Neumann e Dirichelet. Condizioni al contorno con impedenza finita. Soluzione alle differenze finite. Condizione di Courant–Friedrichs–Lewy (CFL): cono di stabilità e relazione di dispersione numerica.

7. Risoluzione di sistemi lineari sparsi. Sistemi tridiagonali. Metodo di Thomas e metodo di Jacobi. Metodo di Gauss Siedel.

8. Equazione delle barre. Onde longitudinali (iperboliche). Onde trasversali (paraboliche). Barre con condizioni al contorno di tipo elastico.

9. Operatori spaziali a differenze finite in 2 dimensioni. Equazione delle onde in 2 dimensioni. Griglie polari e cartesiane.

Il programma potrà subire variazioni in corso d'opera per adattarsi alle esigenze della classe. Il corso verrà erogato in lingua inglese.

Testi/Bibliografia

Il docente produrrà delle dispense che serviranno come base per gli argomenti trattati a lezione. Altri testi consigliati

- Sul calcolo alle differenze finite:

  • R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady State and Time Dependent Problems. SIAM, Philadelphia, USA, 2007.
  • J. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. SIAM, Philadelphia, USA, 2004.
  • S. Bilbao, Numerical Sound Synthesis. Wiley, Chichester, UK, 2009.

- Sugli elementi finiti

  • T.J.R. Hughes, The Finite Element Method. Dover, Minerola, USA, 2000.

- Sulla dinamica dei sistemi.

  • L. Meirovitch, Fundamentals of Vibrations. Waveland, Long Grove, USA, 2001.
  • A. H. Nayfeh, Professor D. T. Mook, Nonlinear Oscillations. Wiley, Weinheim, Germany, 2004.

Metodi didattici

Lezioni frontali (3 ore/settimana).

Laboratorio Matlab (2 ore/settimana). Durante il laboratorio, gli studenti metteranno in pratica i principi di calcolo numerico visti durante la lezione.

In considerazione della tipologia di attività e dei metodi didattici adottati, la frequenza di questa attività formativa richiede la preventiva partecipazione di tutti gli studenti ai moduli 1 e 2 di formazione sulla sicurezza nei luoghi di studio, [https://elearning-sicurezza.unibo.it/] in modalità e-learning.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Gli studenti prepareranno un progetto in Matlab, che sarà oggetto di discussione con il docente durante l'esame orale. Oltre a domande sul progetto, gli studenti verranno sottoposti ad ulteriori domande rispetto ai contenuti del corso.

Strumenti a supporto della didattica

Dispense preparate dal docente. Demo in Matlab. Presentazioni in Powerpoint. Demo di misura di vibrazioni mediante accelerometri.


Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Michele Ducceschi