96761 - STOCHASTIC CALCULUS

Conoscenze e abilità da conseguire

At the end of the course, the students know the fundamentals of the theory of stochastic processes in discrete and continuous time that naturally intervene in applications in Physics, Economics, Biology and Engineering.

Contenuti

1 - Richiami di elementi di probabilità elementare:
spazi di probabilità, distribuzioni, variabili aleatorie, valore atteso e indipendenza. Definizione, esistenza e unicità dell’attesa condizionata. Dimostrazioni usando la proiezione ortogonale e cenno al Teorema di Radon-Nikodym. Proprietà dell’attesa condizionata. Dimostrazione del primo teorema di Dynkin. Secondo teorema di Dynkin e applicazioni.

2 - Processi stocastici e martingale:
Definizione nello spazio delle traiettorie, e legge di un processo. Equivalenza fra processi: equivalenza in legge, modificazioni e indistinguibilità. Teorema di Estensione di Kolmogorov. Processi continui e Teorema di Continuità di Kolmogorov. Moto Browniano ed equazione del calore: definizione, esistenza, proprietà di Markov, densità di transizione e soluzione fondamentale. Martingale e proprietà. Decomposizione di Doob. Tempi d’arresto e processo stoppato. Teorema di Optional sampling. Martingale Browniane. Diseguaglianza massimale di Doob. Spazi di mg continue. Ipotesi usuali sulle filtrazioni. Tempi d’arresto e martingale.

3 - Integrazione stocastica di Ito:
Funzioni a variazione limitata. Integrale di Riemann-Stieltjes. Formula di Ito deterministica. Variazione quadratica del moto Browniano. Integrale di Wiener. Integrale di processi semplici di L^2. Proprietà dell’integrale stocastico: martingalità e isometria di Ito. Estensione dell’integrale a L^2. Il caso dei coefficienti deterministici. Integrale e tempi d’arresto. Variazione quadratica dell’integrale. Traiettorie a variazione limitata dell’integrale stocastico. Integrale in L^2_loc. Martingale locali. Processi di Ito: unicità della rappresentazione e notazione differenziale. Formula di Ito per il moto Browniano. Esempi. Moto Browniano geometrico. Formula di Ito 1dim generale. Esempi. Moto Browniano multidimensionale. Formula di Ito multidimensionale. Esempi.

4 - Equazioni differenziali stocastiche e legame con PDEs:
Esempi su Formula di Ito multidimensionale. Ipotesi standard: esistenza e unicità di soluzioni forti. Tempi di uscita. Generatore infinitesimale. Rappresentazione probabilistica della soluzione di un Problema di Dirichlet. Esempi di rappresentazione probabilistica: problema di Dirichlet per l’operatore di Laplace, problema di Cauchy-Dirichlet per l’operatore del calore, metodo delle caratteristiche. Soluzione fondamentale e densità di transizione. Equazioni stocastiche lineari: equazione di Langevin e operatore di Kolmogorov associato, condizione di Kalman e controllabilità.

Prerequisiti: calcolo differenziale, teoria dell'integrazione di Lebesgue, probabilità di base.

Testi/Bibliografia

- Pascucci (2010), PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Chapters 3, 4, 5, 9 and 12

- Varadhan, Stroock (1997) Multidimensional Diffusion Processes. Chapters 1, 2, 4 and 5

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Colloquio orale nel quale verranno accertate le conoscenze acquisite, sia mediante domande di tipo teorico (definizioni, enunciati, dimostrazioni, etc.), che attraverso brevi quesiti sotto forma di esercizi.

Strumenti a supporto della didattica

Note in pdf delle lezioni.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Stefano Pagliarani