87294 - ANALISI MATEMATICA T-B

Conoscenze e abilità da conseguire

Aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

Affinamento e arricchimento degli strumenti matematici di base (serie, curve, vari tipi di integrale, equazioni differenziali) per la risoluzione di tipici problemi applicativi.

Programma/Contenuti

Numeri complessi:

 Introduzione, forma algebrica e trigonometrica, piano di Gauss, formula di De Moivre, radici n-esime di un numero complesso.

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:

Introduzione Elementi di topologia in R^n. Funzioni da R^n in R^m (n,m=1,2,3). Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.

Funzioni di più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni di più variabili a valori reali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Matrice Hessiana. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vettoriali. Matrice Jacobiana. Composizione di funzioni: teorema della Jacobiana della funzione composta.

Applicazioni del calcolo differenziale:

Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie e/o sufficienti per funzioni C^2.

Misura e integrazione per funzioni in più variabili:

Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio e Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.

Serie e successioni numeriche:

Generalità sulle successioni e le serie numeriche: definizioni, criteri di convergenza: rapporto, confronto. Serie a termini positivi e assoluta convergenza.

Curve in forma parametrica ed integrali curvilinei:

Curve regolari. Curve regolari a tratti. Orientamento e curve orientate. Integrali curvilinei su curve orientate: lunghezza, integrale curvilineo di una funzione.

Cenni di integrali di superficie e teorema di Gauss-Green

Testi/Bibliografia

G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 2, Zanichelli 2015.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. Assegnazione di esercizi tramite upload di fogli di esercizi sugli spazi istituzionali preposti.

Per le esercitazioni:

si vedano i fogli di esercizi pubblicati sul sito web del docente o sugli spazi internet di Ateneo preposti; se lo studente risolve con cura gli esercizi presentati dal docente sui fogli pubblicati, non avrà bisogno di ulteriori testi.

Per la teoria:

è sufficiente che lo studente segua regolarmente TUTTE le lezioni frontali in aula e che studi la teoria sugli appunti presi a lezione. Un foglio di esercizi pubblicato sul preposto spazio internet di Ateneo fornirà allo studente l'elenco COMPLETO delle domande teoriche per l'esame orale.

Si consiglia vivamente agli studenti non frequentanti di procurarsi gli appunti di lezione presi da qualche studente regolarmente frequentante. Questo permetterà allo studente non frequentante di risparmiare tempo e fatica nel preparare gli esami scritto e orale. Ovviamente, è comunque un diritto dello studente non frequentante di preparare l'esame anche mediante l'uso dei testi consigliati.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.

Saranno forse previste prove intermedie; da concordare col docente.

Esame scritto:
Durata: 3 ore.

Prove intermedie scritte (se previste):
Se previste prove intermedie (con modalità/date che verranno definite): la prima generalmente è a metà semestre; la seconda (solo per chi è risultato sufficiente alla prima) può essere sostenuta (una sola volta) durante UNO QUALUNQUE DEI tre appelli di giugno/luglio:
chi risulta insufficiente alla prima prova intermedia dovrà poi necessariamente sostenere lo scritto totale (in qualunque data desideri lo studente, anche se insufficiente alla prima prova intermedia). Chi risulta sufficiente alla prima ma insufficiente alla seconda prova intermedia dovrà poi necessariamente sostenere lo scritto totale (in un qualunque appello successivo). Chi risulta sufficiente alle prove scritte intermedie dovrà poi sostenere anche la prova orale.

Esame orale:
Da sostenere OBBLIGATORIAMENTE nella stessa sessione in cui si è sostenuto lo scritto (eventualmente in un appello diverso da quello dello scritto).
Verranno assegnate tre domande (solitamente personalizzate per ciascuno studente) di Teoria, a cui lo studente risponderà per iscritto al momento dell'orale; tali domande verranno immediatamente corrette e verranno fatte una o più domande ulteriori allo studente, a cui lo studente dovrà rispondere sempre per iscritto.

Note: Lo studente con voto insufficiente allo scritto NON può sostenere l'orale (i punteggi per la sufficienza saranno segnalati nel testo dello scritto).
L'insufficienza ad uno scritto (totale) NON pregiudica la partecipazione agli scritti successivi. È prevista un'ammissione all'orale "con riserva" (i punteggi per l'ammissione con riserva saranno segnalati nel testo dello scritto).

Si può sostenere l'esame orale SOLO all'interno della stessa sessione dello scritto, anche in un appello differente da quello in cui si è superato lo scritto.

NOTA BENE: Chi risulta insufficiente all'orale DEVE RIFARE ANCHE LO SCRITTO.

Voto finale: Il voto finale tiene conto sia dello scritto sia dell'orale.

Numero di esami: Tre appelli in giugno/luglio. Un appello a settembre; due appelli a gennaio/febbraio.

Iscrizione agli esami: Lo studente dovrà iscriversi sia all'esame scritto sia all'esame orale attraverso il sito di Alma Esami.
Chi non si iscrive alle prove scritte/orali NON può sostenere l'esame.
Attenzione: l'iscrizione chiude normalmente svariati giorni prima della prova! Iscriversi per tempo!!

Strumenti a supporto della didattica

Materiale online pubblicato nei preposti spazi di Ateneo.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Bonfiglioli