84163 - TEORIA DEI MODELLI (1) (LM)

Conoscenze e abilità da conseguire

L’insegnamento si propone di fornire una conoscenza di base della Teoria dei Modelli, branca della Logica Matematica che si occupa delle interazioni teoriche che connettono linguaggio logico e modelli matematici, con particolare riferimento allo formulazione di sistemi assiomatici formali adatti al trattamento delle strutture matematiche. Al termine del corso lo studente avrà acquisito la dimestichezza con alcuni dei principali ambiti di ricerca della disciplina e la conoscenza dei risultati basilari relativi.

Contenuti

La Teoria dei Modelli è quel ramo della Logica che si occupa delle relazioni che intercorrono tra linguaggio logico e strutture matematiche, o, ancor meglio, che utilizza il linguaggio logico del primordine come vero e proprio strumento di indagine matematica. Il Logico infatti non usa la riga o il compasso “per fare matematica”, bensì il linguaggio stesso, tramite il quale descrive i modelli matematici che intende indagare. Quali relazioni intercorrono dunque tra teorie sintattiche e strutture matematiche descritte? In quale modo le proprietà delle prime si riflettono sulle proprietà delle seconde, e viceversa? Vediamo alcuni esempi. Quelle teorie al primordine la cui validità si preservi nel passaggio da modelli a sottostrutture possono essere assiomatizzate facendo ricorso unicamente a formule universali. Un altro esempio: teorie matematiche che soddisfino certe proprietà algebriche godono dell’eliminazione dei quantificatori (per ogni formula nel linguaggio della teoria esiste quindi una formula senza quantificatori ad essa equivalente all'interno della teoria); qualora esista una procedura meccanica per stabilire la verità delle formule chiuse senza quantificatori, avremo quindi che l'intera teoria è decidibile. La Teoria dei Modelli è pertanto un ramo della Logica i cui risultati possono avere delle ricadute dirette sulla nostra conoscenza delle strutture matematiche (sono infatti note sue rilevanti applicazioni nell’ambito della geometria algebrica in relazione alla soluzione di congetture importanti quali la congettura di Mordell-Lang).

Scopo del corso è quello di delineare le nozioni di base della Teoria dei Modelli secondo le seguenti linee: semantica tarskiana per il calcolo dei predicati; strutture algebriche fondamentali; Teorema di Compattezza e sue conseguenze; teorie assiomatizzabili universalmente: monoidi, gruppi, anelli; teorie categoriche: ordini lineari densi stretti senza estremi e gruppi abeliani senza torsione; eliminazione dei quantificatori: ordini lineari densi stretti senza estremi e campi algebrici chiusi; teorie matematiche decidibili: test di Vaught, ordini lineari densi stretti senza estremi, campi algebrici chiusi.

Per quanto riguarda i prerequisiti richiesti per una proficua frequentazione del corso sono sufficienti le nozioni algebriche di base fornite da un qualsiasi Istituto di Scuola Superiore e l’avere frequentato almeno un corso di alfabetizzazione logica. Le altre nozioni necessarie verranno introdotte durante il corso.

Testi/Bibliografia

Testo di base saranno le dispense fornite dal docente. Come materiale integrativo si suggeriscono i seguenti volumi:

A. Marcja, C. Toffalori: Introduzione alla teoria dei modelli, Pitagora, 1998

D. Marker: Model theory: an introduction, Springer, 2002

 

Metodi didattici

Lezioni frontali con utilizzo della lavagna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L’esame consisterà in una prova orale nella quale si dovrà dimostrare la comprensione dei concetti trattati a lezione, mediante spiegazione orale ma anche formulazione per iscritto delle definizioni dei concetti di base e dei risultati fondamentali della disciplina così come affrontati durante il corso. Inoltre, è prevista la ricostruzione ragionata delle dimostrazioni inerenti

*) un argomento a scelta tra 1) Teorema di Compattezza e corollari 2) teorie assiomatizzabili universalmente 3) categoricità

(Possibili variazioni sugli argomenti a piacere possono eventualmente essere concordate col Docente)

*) l'eliminazione dei quantificatori: procedura generale di eliminazione dei quantificatori e dimostrazioni per almeno uno degli esempi trattati (Teoria degli Ordini Lineari Densi Stretti senza Estremi o Campi Algebrici Chiusi)

*) la decidibilità di teorie al primordine.

Strumenti a supporto della didattica

Verranno fornite dal docente dispense dattiloscritte relative al contenuto del corso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Guido Gherardi