- Docente: Fausto Ferrari
- Crediti formativi: 7
- SSD: MAT/05
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea in Matematica (cod. 8010)
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso, lo studente conosce strumenti avanzati e moderni di analisi matematica: spazi di Hilbert e di Banach ed operatori lineari tra essi, convergenza debole, spazi L^p, trasformato di Fourier in L^2, Teorema di Ascoli-Arzelà. Sa usare queste conoscenze per affrontare e risolvere problemi non elementari posti delle scienze applicate. Possiede abilità di apprendimento e un elevato grado di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni e ai programmi dei corsi di laurea di secondo livello.
Contenuti
1) Spazi L^p: completezza, densita' di alcune classi di funzioni (funzioni semplici, funzioni continue), regolarizzazione (mollificatori di Friedrichs).
2) Trasformata di Fourier in L^1, nello spazio di Schwarz S e in L^2. Cenni allo spazio delle distribuzioni temperate S' e alle distribuzioni D'. Cenni alla trasformata di Laplace.
3) Derivate deboli e spazi di Sobolev. Teorema di Lax-Milgram e problema di Dirichlet per operatori ellittici del secondo ordine.
4) Spazi di Banach e spazi di Hilbert. Teorema di Baire. Teoremi di Hahn-Banach, di Banach-Steinhaus e del grafico chiuso. Convergenza debole e minimi di funzionali coercive e debolmente inferiormente semicontinui.
5) Elementi di teoria astratta della misura. Misure di Borel e di Radon. Decomposizione di Lebesgue, Teorema di Radon-Nikodym.
Testi/Bibliografia
H. Brezis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York.
W. Rudin, Analisi reale e complessa, Boringhieri, Torino
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
La prova d'esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:
- esposizione con coerenza di alcuni argomenti del corso, dando prova di aver compreso a fondo i concetti fondamentali e i meccanismi di deduzione;
- eventuale risoluzione di esercizi inerenti gli argomenti svolti.
L'esame si articola in una prova d'ammissione della durata di 30 minuti e di una prova scritta, da svolgersi in un giorno diverso da quella di ammissione, della durata di un'ora al termine della quale si svolgerà un colloquio. Per poter sostenere la prova scritta e il successivo orale è necessario aver riportato una votazione non inferiore a 6/10 nella prova d'ammissione.
Il voto finale tiene conto dei risultati conseguiti in tutte le prove e della comprensione negli svolgimenti degli esercizi assegnati durante il corso.
Strumenti a supporto della didattica
Il docente metterà ad disposizione gli appunti delle lezioni su Virtuale and IOL.
Link ad altre eventuali informazioni
https://www.unibo.it/sitoweb/fausto.ferrari
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Fausto Ferrari