76300 - METODI MATEMATICI PER LA MECCANICA DEI CONTINUI

Anno Accademico 2019/2020

  • Docente: Franca Franchi
  • Crediti formativi: 6
  • SSD: MAT/07
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea Magistrale in Matematica (cod. 8208)

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso è focalizzato sui principali aspetti matematici della Meccanica dei Continui, con molte applicazioni a situazioni del mondo reale, in ambito biomedico, fisico e astrofisico. durante il corso gli studenti si rendono conto dell'importanza strategica delle EDP per la costruzione di modelli matematici, e imparano diverse tecniche analitiche per affrontarne qualitativamente lo studio. Al termine gli studenti sanno adoperare queste nozioni in modo autonomo, e riescono a comprendere anche i più recenti sviluppi di questi settori in cui la ricerca è attiva.

Contenuti

Preliminari di calcolo tensoriale e di analisi tensoriale.

Introduzione alle equazioni alle derivate parziali: problema di Cauchy, curve e superfici caratteristiche, classificazione e propagazione delle singolarità.

Forma conservativa: soluzioni deboli e onde d'urto.

Sistemi quasi lineari del primo ordine iperbolici 1D e 3D.

Onde di discontinuità VS onde dispersive.

Il metodo delle travelling waves, con esempi.

Introduzione alla Meccanica dei Continui.

Localizzazioni, configurazioni, analisi delle deformazioni e le principali proprieta' cinematiche nei due diversi formalismi lagrangiano ed euleriano.

Leggi di bilancio, in formulazione integrale e locale, anche in presenza di una superficie di singolarità per il campo incognito, a valori scalari e vettoriali.

Derivazione dell'equazione salto di Rankine-Hugoniot.

I principi di conservazione della Meccanica dei Continui e la loro forma locale, divergenza e convettiva: il Teorema di Cauchy ed il Teorema dell'Energia cinetica.

Le diverse teorie costitutive, classiche e non, per fluidi e corpi elastici: il modello di Eulero dei fluidi perfetti barotropici, il modello di Navier-Stokes per i fluidi linearmente viscosii/dissipativi, il modello di Maxwell per i fluidi viscoelastici e il modello di Navier per i solidi elastici lineari e omogenei.

Analisi delle proprietà di stabilita', lineare e non, unicità e di propagazione ondosa.

I due Principi della Termodinamica, in forma integrale e locale.

L'equazione dell'energia calorica, la legge fenomenologica di Fourier e teorie costitutive alternative con ritardo di risposta.

La disuguaglianza dell'entropia, l'energia libera di Helmholtz e la disuguaglianza di Clausius-Duhem: le forme differenziali di Gibbs classiche e le restrizioni costitutive.

Compatibilita' termodinamica di un modello matematico.

Il modello termo-viscoso di Navier-Stokes-Fourier e il modello del gas perfetto politropico.

Conduzione del calore rigida, classica e con rilassamento termico: modelli matematici di diffusione del calore parabolici, lineari e non, e iperbolici a confronto.

Instabilita' convettive: l'approssimazione di Boussinesq e il problema classico di Bénard.

Modelli iperbolici non lineari in forma conservativa: soluzioni deboli e onde d'urto. Il modello di Eulero in regime adiabatico.

Modellamenti matematici non lineari, parabolici, anche con mobilità diffusive degeneri, o con la correzione iperbolica alla Cattaneo, introducendo un tempo di ritardo, in dinamica delle popolazioni, per il flusso del traffico, o a più specie n ambito bio-medico per la diffusione di virus e di batteri.

In particolare i modelli di diffusione e reazione dell'Hantavirus di Abramson e Kenkre e i modelli di aggregazione chemotattica di Keller-Segel VS quello idrodinamico di Chavanis-Sire.

Proprietà di propagazione ondosa di modelli di diffusione e reazione di tipo iperbolico per la chemotassi, alternativi a quelli precedenti di Dolak e Hillen.

Analisi della stabilità lineare VS l'insorgenza del collasso chemotattico.

Modelli matematici a 3 o più specie per analizzare qualitativamente gli effetti delle sigarette elettroniche sul problema della cessazione del fumo.

Modelli matematici continui a confronto per l'insorgenza e la diffusione dell'Alzheimer.

Modellamenti matematici per una nube di gas del mezzo interstellare, autogravitante in un universo in espansione: onde gravito-soniche VS la formazione del collasso gravitazionale.

Analogie fra la formazione del collasso chemotattico nei processi di aggregazione cellulare e l'instabilità gravitazionale di Jeans in ambito astrofisico, nei processi di formazione delle stelle e delle galassie.

Testi/Bibliografia

F.John: Partial Differential Equations, Springer, 1991.

M.Renardy, R.C.Rogers: Introduction to PDEs, Springer, 2006.

I- Shih Liu: Continuum mechanics, Springer 2002

T.Ruggeri: Introduzione alla termomeccanica dei continui, Monduzzi editore, 2007.

B.Straughan: The energy method, stability and nonlinear convection, Springer New York, 2004.

B.Straughan: Heat Waves Applied Mathematical Sciences, 177, Springer New York, 2011.

J.L. Vazquez: An introduction to the mathematical theory of the porous medium equation Oxford Univ.Press, 2007.


Appunti e articoli di ricerca distribuiti a lezione.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in cui vengono sviluppati gli aspetti teorici degli argomenti trattati, mettendo in risalto l'importanza della conoscenza delle equazioni alle derivate parziali non lineari per costruire dei modellamenti matematici, e presentando le tecniche analitiche per affrontarne lo studio allo scopo di descrivere le proprietà sperimentali di situazioni fisiche, astrofisiche e biomediche.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova orale nella quale la prima domanda riguarda l'approfondimento di un argomento/modello matematico, legato alle tematiche del corso, scelto dalla studente, con lo scopo di accertare la padronanza acquisita dei diversi formalismi presentati nell'ambito del corso stesso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Franca Franchi

SDGs

Salute e benessere Istruzione di qualità Lotta contro il cambiamento climatico

L'insegnamento contribuisce al perseguimento degli Obiettivi di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda 2030 dell'ONU.